Exercice 118

Étant donné les polynômes suivants :

• \(A = x^{3} - 5\)
• \(B = x^{3} + 5\)

Former les polynômes suivants :

1. \((A \cdot B) \cdot (A \cdot B)\)
2. \(2A - (-2B + (2A + B))\)
3. \(2AB + (A - B) \cdot (A - B)\)

Réponse

Résumé des solutions

1. \((A \cdot B)^2 = x^{12} - 50x^{6} + 625\)
2. \(2A - (-2B + (2A + B)) = x^{3} + 5\)
3. \(2AB + (A - B)^2 = 2x^{6} + 50\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée des exercices

Nous allons résoudre chacun des exercices proposés en suivant des étapes claires et structurées. Les opérations seront expliquées de manière simple afin de faciliter la compréhension.

Données :

• \(A = x^{3} - 5\)
• \(B = x^{3} + 5\)

Exercice 1 : \((A \cdot B) \cdot (A \cdot B)\)

Étape 1 : Calculer \(A \cdot B\)

Multipliant les deux polynômes \(A\) et \(B\) :

\[ A \cdot B = (x^{3} - 5)(x^{3} + 5) \]

Utilisons la formule du produit de deux binômes conjugués \((a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}\) :

\[ A \cdot B = (x^{3})^{2} - (5)^{2} = x^{6} - 25 \]

Étape 2 : Calculer \((A \cdot B) \cdot (A \cdot B)\)

Nous avons déjà trouvé que \(A \cdot B = x^{6} - 25\). Il s’agit maintenant d’élever ce résultat au carré :

\[ (A \cdot B) \cdot (A \cdot B) = (x^{6} - 25)^{2} \]

Développons ce carré en appliquant la formule \((a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\) :

\[ (x^{6} - 25)^{2} = (x^{6})^{2} - 2 \cdot x^{6} \cdot 25 + (25)^{2} = x^{12} - 50x^{6} + 625 \]

Résultat :

\[ (A \cdot B) \cdot (A \cdot B) = x^{12} - 50x^{6} + 625 \]

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Exercice 2 : \(2A - (-2B + (2A + B))\)

Étape 1 : Simplifier l’expression à l’intérieur des parenthèses

\[ -2B + (2A + B) \]

Distribuons le signe négatif :

\[ = -2B + 2A + B = 2A - 2B + B \]

Combine les termes similaires :

\[ = 2A - B \]

Étape 2 : Remplacer dans l’expression principale

\[ 2A - (2A - B) \]

Distribuons le signe négatif :

\[ = 2A - 2A + B \]

Simplifions :

\[ = B \]

Résultat :

\[ 2A - (-2B + (2A + B)) = B = x^{3} + 5 \]

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Exercice 3 : \(2AB + (A - B) \cdot (A - B)\)

Étape 1 : Calculer \(AB\)

Nous avons déjà calculé \(A \cdot B = x^{6} - 25\). Donc :

\[ AB = x^{6} - 25 \]

Multipliant par 2 :

\[ 2AB = 2x^{6} - 50 \]

Étape 2 : Calculer \((A - B) \cdot (A - B)\)

Premièrement, trouvons \(A - B\) :

\[ A - B = (x^{3} - 5) - (x^{3} + 5) = x^{3} - 5 - x^{3} - 5 = -10 \]

Donc :

\[ (A - B) \cdot (A - B) = (-10)^{2} = 100 \]

Étape 3 : Additionner les résultats obtenus

\[ 2AB + (A - B) \cdot (A - B) = (2x^{6} - 50) + 100 = 2x^{6} + 50 \]

Résultat :

\[ 2AB + (A - B) \cdot (A - B) = 2x^{6} + 50 \]

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Résumé des solutions

1. \((A \cdot B) \cdot (A \cdot B) = x^{12} - 50x^{6} + 625\)
2. \(2A - (-2B + (2A + B)) = x^{3} + 5\)
3. \(2AB + (A - B) \cdot (A - B) = 2x^{6} + 50\)

Conclusion

Nous avons méthodiquement résolu chaque exercice en identifiant les étapes clés : multiplication des polynômes, simplification des expressions, et application des formules algébriques appropriées. Ces méthodes permettent de manipuler efficacement les polynômes et d’obtenir les résultats souhaités.