Exercice 117

1. Calculez le produit de \(\left(3 x^{2} - 5\right)\) et \(\left(2 x^{2} + 1\right)\).

2. Calculez le produit de \((5 a b - 2 b)\) et \((a b - 4 b)\).

3. Calculez le produit de \(\left(2 x^{2} - 3 x\right)\) et \(\left(-4 x + 5 x^{2}\right)\).

4. Calculez le produit de \(\left(a^{2} b + 3 a\right)\) et \(\left(2 a^{2} b - a\right)\).

5. Calculez le produit de \(\left(3 y^{2} - 5 x\right)\) et \(\left(3 x + 5 y^{2}\right)\).

6. Calculez le produit de \(\left(-2 x^{2} - 5 y\right)\) et \(\left(-x - 4 y^{2}\right)\).

Réponse

Voici les réponses finales résumées :

1. 6x⁴ – 7x² – 5
   
2. 5a²b² – 22ab² + 8b²
   
3. 10x⁴ – 23x³ + 12x²
   
4. 2a⁴b² + 5a³b – 3a²
   
5. 15y⁴ – 16xy² – 15x²
   
6. 2x³ + 8x²y² + 5xy + 20y³

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacune des multiplications en appliquant la propriété distributive (la loi de multiplication sur l’addition). Pour chaque exercice, on multiplie chaque terme du premier factoriel par chaque terme du second, puis on regroupe les termes semblables.

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Exercice 1
Produit : (3x² – 5) × (2x² + 1)

1. Multiplions chaque terme :

 • 3x² × 2x² = 6x⁴
 • 3x² × 1 = 3x²
 • (–5) × 2x² = –10x²
 • (–5) × 1 = –5

2. Regroupons les termes semblables :

 Les termes en x² : 3x² – 10x² = –7x²

3. Écrivons le résultat final :

 6x⁴ – 7x² – 5

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Exercice 2
Produit : (5ab – 2b) × (ab – 4b)

1. Multiplions chaque terme :

 • 5ab × ab = 5a²b²
 • 5ab × (–4b) = –20ab²
 • (–2b) × ab = –2ab²
 • (–2b) × (–4b) = 8b²

2. Regroupons les termes semblables :

 Les termes en ab² : –20ab² – 2ab² = –22ab²

3. Résultat final :

 5a²b² – 22ab² + 8b²

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Exercice 3
Produit : (2x² – 3x) × (–4x + 5x²)

1. Multiplions chaque terme :

 • 2x² × (–4x) = –8x³
 • 2x² × 5x² = 10x⁴
 • (–3x) × (–4x) = 12x²
 • (–3x) × 5x² = –15x³

2. Regroupons par puissances :

 • x⁴ : 10x⁴
 • x³ : –8x³ – 15x³ = –23x³
 • x² : 12x²

3. Résultat final :

 10x⁴ – 23x³ + 12x²

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Exercice 4
Produit : (a²b + 3a) × (2a²b – a)

1. Multiplions chaque terme :

 • a²b × 2a²b = 2a⁴b²
 • a²b × (–a) = –a³b
 • 3a × 2a²b = 6a³b
 • 3a × (–a) = –3a²

2. Regroupons :

 • Terme en a³b : –a³b + 6a³b = 5a³b

3. Résultat final :

 2a⁴b² + 5a³b – 3a²

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Exercice 5
Produit : (3y² – 5x) × (3x + 5y²)

1. Multiplions chaque terme :

 • 3y² × 3x = 9xy²
 • 3y² × 5y² = 15y⁴
 • (–5x) × 3x = –15x²
 • (–5x) × 5y² = –25xy²

2. Regroupons les termes semblables :

 Les termes en xy² : 9xy² – 25xy² = –16xy²

3. Résultat final :

 15y⁴ – 16xy² – 15x²

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Exercice 6
Produit : (–2x² – 5y) × (–x – 4y²)

1. Multiplions chaque terme :

 • (–2x²) × (–x) = 2x³
 • (–2x²) × (–4y²) = 8x²y²
 • (–5y) × (–x) = 5xy
 • (–5y) × (–4y²) = 20y³

2. Aucune simplification n’est nécessaire car aucun terme semblable n’est présent.

3. Résultat final :

 2x³ + 8x²y² + 5xy + 20y³

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Ainsi, les produits développés et simplifiés sont :

1) 6x⁴ – 7x² – 5
2) 5a²b² – 22ab² + 8b²
3) 10x⁴ – 23x³ + 12x²
4) 2a⁴b² + 5a³b – 3a²
5) 15y⁴ – 16xy² – 15x²
6) 2x³ + 8x²y² + 5xy + 20y³