\[\frac{1}{2} \cdot\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)-\frac{7}{4} \cdot\left(3 a^{2}-5 a b+12 b^{2}\right)\]
\[\frac{1}{2} \cdot(x-4)+\frac{3}{4} \cdot(x-8)+\frac{1}{3} \cdot(2 x-6)\]
\[\frac{4 x-2 y}{5}-(-2 x+3 y)\]
\[\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{a-b}{3}\right)-\frac{3 a-b}{4}+\frac{2}{3} \cdot\left(\frac{2 a+3 b}{8}\right)\]
\[-\frac{3 a-2}{3}+\frac{1}{4} \cdot(2 a-1)-\frac{5}{2} \cdot\left(\frac{2-a}{3}\right)\]
\[\frac{3 x-1}{3}-\frac{1}{3} \cdot\left(\frac{2 x-5}{2}\right)+\frac{1}{6} \cdot(x-3)\]
Réponses finales simplifiées :
Nous allons résoudre chacune des expressions étape par étape en détaillant les calculs.
────────────────────────────── Exercice 1) Expression : (1/2)·(a² – 2ab + b²) – (7/4)·(3a² – 5ab + 12b²)
• Second terme : On calcule pour chaque partie : – (7/4)·(3a²) = (21/4)a², – (7/4)·(–5ab) = –(–35/4)ab, mais la multiplication par le signe moins devant la parenthèse change le signe, autrement dit : – (7/4)(3a² – 5ab + 12b²) = – (21/4)a² + (35/4)ab – (84/4)b². Remarquons que (84/4) = 21, donc (84/4)b² = 21b².
La forme simplifiée est donc : (–19/4)a² + (31/4)ab – (41/2)b².
────────────────────────────── Exercice 2) Expression : (1/2)·(x – 4) + (3/4)·(x – 8) + (1/3)·(2x – 6)
Développons chaque terme : • (1/2)·(x – 4) = (1/2)x – 2. • (3/4)·(x – 8) = (3/4)x – 6 (car 3/4×8 = 6). • (1/3)·(2x – 6) = (2/3)x – 2 (car 1/3×6 = 2).
Rassemblons les termes en x et les constantes : Coefficient de x : (1/2)x + (3/4)x + (2/3)x. Pour sommer, on choisit un dénominateur commun (ici 12) : (1/2 = 6/12, 3/4 = 9/12, 2/3 = 8/12). La somme est (6 + 9 + 8)/12 = (23/12)x. Constantes : –2 – 6 – 2 = –10.
La forme simplifiée est : (23/12)x – 10.
────────────────────────────── Exercice 3) Expression : (4x – 2y)/5 – (–2x + 3y)
La forme simplifiée est : (14x – 17y)/5.
────────────────────────────── Exercice 4) Expression : (1/2)·((a – b)/3) – (3a – b)/4 + (2/3)·((2a + 3b)/8)
Simplifions chaque terme : • (1/2)·((a – b)/3) = (a – b)/6. • – (3a – b)/4 reste tel quel. • (2/3)·((2a + 3b)/8) = (2·(2a + 3b))/(3×8) = (4a + 6b)/24, ce qui simplifie en (2a + 3b)/12 après division par 2.
Pour additionner, exprimons tous les termes avec un dénominateur commun, par exemple 12 : • (a – b)/6 = (2a – 2b)/12 (car multiplication par 2). • – (3a – b)/4 = – (9a – 3b)/12 (car multiplication par 3). • Le troisième terme est déjà sur 12 : (2a + 3b)/12.
Additionnons les numérateurs : (2a – 2b) + (–9a + 3b) + (2a + 3b) = (2a – 9a + 2a) + (–2b + 3b + 3b) = (–5a) + (4b).
La forme simplifiée est : (–5a + 4b)/12 ou équivalent à (4b – 5a)/12.
────────────────────────────── Exercice 5) Expression : –(3a – 2)/3 + (1/4)·(2a – 1) – (5/2)·((2 – a)/3)
Développons chaque terme : • –(3a – 2)/3 = (–3a + 2)/3. • (1/4)·(2a – 1) = (2a – 1)/4. • –(5/2)·((2 – a)/3). On remarque que (5/2)·((2 – a)/3) = [5(2 – a)]/6, et avec le signe moins, il devient –[5(2 – a)]/6.
Pour pouvoir additionner, exprimons toutes les fractions sur un dénominateur commun. Le dénominateur commun de 3, 4 et 6 est 12 : • (–3a + 2)/3 = (–12a + 8)/12 (car multiplication par 4). • (2a – 1)/4 = (6a – 3)/12 (car multiplication par 3). • –[5(2 – a)]/6 = –[10 – 5a]/6 = –(10 – 5a)/6. Pour mettre sur 12, on multiplie par 2 : –(20 – 10a)/12 = (–20 + 10a)/12.
Additionnons les numérateurs : (–12a + 8) + (6a – 3) + (10a – 20) = (–12a + 6a + 10a) + (8 – 3 – 20) = 4a – 15. Le tout sur 12.
La forme simplifiée est : (4a – 15)/12.
────────────────────────────── Exercice 6) Expression : (3x – 1)/3 – (1/3)·((2x – 5)/2) + (1/6)·(x – 3)
La forme simplifiée est : (5x)/6.
────────────────────────────── Conclusion
Les réponses finales sont :
1) (–19/4)a² + (31/4)ab – (41/2)b²
2) (23/12)x – 10
3) (14x – 17y)/5
4) (4b – 5a)/12
5) (4a – 15)/12
6) (5x)/6
Chaque exercice a été détaillé pas à pas pour mettre en évidence la logique et les opérations nécessaires. Cela permet de comprendre comment passer d’une expression complexe à une expression simplifiée.