Exercice 115

Réduire les expressions suivantes:

1. \((-5 x)+(-2 y)+(-4 x)-(-7 y)\)
   
2. \(\left(-\frac{3}{5} a\right)-\left(+\frac{1}{4} b\right)-(-a)+\left(+\frac{1}{2} b\right)\)
   
3. \(\left(-5 x^{2} y\right)+\left(+2 x^{2} y\right)-\left(+3 x y^{2}\right)-7 x y \cdot y\)
   
4. \(\frac{1}{2} a^{2}+\left(+\frac{1}{3} a b\right)-\left(-\frac{1}{9} a b\right)+2 a^{2}\)
   
5. \(\left(-3 w^{3}\right)-\left(-2 w^{2}\right)+\left(+\frac{1}{4} w^{3}\right)-\left(+\frac{2}{3} w^{2}\right)\)
   
6. \(\frac{1}{3}+\frac{1}{3} a^{2}-1-a^{2}\)

Réponse

Voici le résumé des réponses :

1. –9x + 5y
   
2. (2/5)a + (1/4)b
   
3. –3x²y – 10xy²
   
4. (5/2)a² + (4/9)ab
   
5. –(11/4)w³ + (4/3)w²
   
6. –(2/3)(1 + a²)

Corrigé détaillé

Nous allons réduire chacune des expressions en regroupant les termes semblables (c’est-à-dire les termes qui contiennent les mêmes lettres élevées aux mêmes puissances) et en effectuant les opérations sur les coefficients.

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1) Réduire : (–5 x) + (–2 y) + (–4 x) – (–7 y)

La première étape consiste à enlever les parenthèses tout en faisant attention aux signes :
  –5x – 2y – 4x + 7y

• Regroupement des termes en x :
  –5x – 4x = –9x

• Regroupement des termes en y :
  –2y + 7y = 5y

Donc, l’expression réduite est :
  –9x + 5y

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2) Réduire : (–(3/5) a) – (+ (1/4) b) – (–a) + (+ (1/2) b)

En enlevant les parenthèses et en faisant attention aux signes :
  –(3/5)a – (1/4)b + a + (1/2)b

• Pour les termes en a :
  –(3/5)a + a
  On écrit a sous forme de fraction avec dénominateur 5 : a = (5/5)a
  Donc, –(3/5)a + (5/5)a = (2/5)a

• Pour les termes en b :
  – (1/4)b + (1/2)b
  On écrit (1/2)b sous dénominateur 4 : (1/2) = (2/4)
  Donc, –(1/4)b + (2/4)b = (1/4)b

L’expression réduite est :
  (2/5)a + (1/4)b

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3) Réduire : (–5 x² y) + (+2 x² y) – (+3 x y²) – 7 x y ⋅ y

Remarquons que dans le dernier terme, x y ⋅ y correspond à x y² (puisque y ⋅ y = y²). Ainsi, l’expression devient :
  –5x²y + 2x²y – 3xy² – 7xy²

• Pour les termes contenant x²y :
  –5x²y + 2x²y = –3x²y

• Pour les termes contenant xy² :
  –3xy² – 7xy² = –10xy²

L’expression réduite est :
  –3x²y – 10xy²

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4) Réduire : (1/2 a²) + (+ (1/3)ab) – (– (1/9)ab) + 2a²

Prendre soin du double signe dans le troisième terme :
  – (–(1/9)ab) devient + (1/9)ab.
L’expression s’écrit alors :
  (1/2)a² + 2a² + (1/3)ab + (1/9)ab

• Pour les termes en a² :
  1/2a² + 2a²
  On écrit 2a² comme (4/2)a², d’où :
  (1/2 + 4/2)a² = (5/2)a²

• Pour les termes en ab :
  (1/3)ab + (1/9)ab
  On met sous le même dénominateur :
  1/3 = 3/9, donc 3/9 + 1/9 = 4/9
  Ainsi, on obtient (4/9)ab

L’expression réduite est :
  (5/2)a² + (4/9)ab

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5) Réduire : (–3w³) – (–2w²) + (+ (1/4)w³) – (+ (2/3)w²)

En supprimant les parenthèses en soignant les signes :
  –3w³ + 2w² + (1/4)w³ – (2/3)w²

• Regroupons les termes en w³ :
  –3w³ + (1/4)w³
  Pour additionner, on écrit –3 en fraction avec dénominateur 4 : –3 = –12/4
  Donc, –12/4w³ + 1/4w³ = –11/4w³

• Regroupons les termes en w² :
  2w² – (2/3)w²
  Écrivons 2w² avec dénominateur 3 : 2 = 6/3
  Ainsi, 6/3w² – 2/3w² = 4/3w²

L’expression réduite est :
  –(11/4)w³ + (4/3)w²

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6) Réduire : (1/3) + (1/3)a² – 1 – a²

Séparons les parties constantes et celles contenant a² :

• Pour les constantes :
  1/3 – 1
  On écrit 1 sous la forme 3/3, ce qui donne :
  1/3 – 3/3 = –2/3

• Pour les termes en a² :
  (1/3)a² – a²
  De même, a² = (3/3)a², donc :
  (1/3 – 3/3)a² = –(2/3)a²

On peut aussi factoriser –2/3 :
  –(2/3)(1 + a²)

L’expression réduite est :
  –(2/3) – (2/3)a²  ou  –(2/3)(1 + a²)

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Récapitulatif des réponses :

1. –9x + 5y
   
2. (2/5)a + (1/4)b
   
3. –3x²y – 10xy²
   
4. (5/2)a² + (4/9)ab
   
5. –(11/4)w³ + (4/3)w²
   
6. –(2/3) – (2/3)a²  ou  –(2/3)(1 + a²)

Ces étapes montrent comment regrouper et simplifier les termes semblables pour obtenir une expression réduite claire et concise.