Exercice 113

Question :

Calcule, à l’aide de plusieurs exemples, la somme de cinq entiers consécutifs.
Explique comment déterminer ce résultat en connaissant uniquement le premier entier.
Pour démontrer que cette conjecture est toujours valable, désigne le premier des cinq entiers par la lettre \(n\). Exprime ensuite les quatre autres entiers.
Calcule la somme de ces cinq entiers et démontre ta conjecture.
Que peux-tu dire de la somme de six entiers consécutifs ? Justifie ta réponse.

Réponse

Résumé de la correction :

Cinq entiers consécutifs débutant par \(n\) ont une somme de \(5n + 10\), divisible par 5.
Six entiers consécutifs débutant par \(n\) ont une somme de \(6n + 15\), divisible par 3.
La méthode démontre que la somme dépend linéairement du premier entier et que les résultats sont toujours multiples de 5 ou 3 respectivement.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice : Somme d’entiers consécutifs

Nous allons aborder chaque partie de la question étape par étape.

a. Calculer, à l’aide de plusieurs exemples, la somme de cinq entiers consécutifs.

Exemple 1 : Prenons cinq entiers consécutifs à partir de 1. \[ 1, 2, 3, 4, 5 \] Calculons leur somme : \[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \]

Exemple 2 : Prenons cinq entiers consécutifs à partir de 7. \[ 7, 8, 9, 10, 11 \] Calculons leur somme : \[ 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 45 \]

Exemple 3 : Prenons cinq entiers consécutifs à partir de -3. \[ -3, -2, -1, 0, 1 \] Calculons leur somme : \[ -3 + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -5 \]

Observation : Dans chaque exemple, nous avons additionné cinq nombres qui se suivent sans interruption.

b. Expliquer comment déterminer ce résultat en connaissant uniquement le premier entier.

Supposons que le premier entier soit \(n\).

Les cinq entiers consécutifs seront : \[ n, \quad n + 1, \quad n + 2, \quad n + 3, \quad n + 4 \]

Pour trouver leur somme, nous additionnons ces termes : \[ n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) \]

En simplifiant : \[ 5n + (1 + 2 + 3 + 4) = 5n + 10 \]

Ainsi, la somme des cinq entiers consécutifs peut être déterminée en connaissant uniquement le premier entier \(n\).

c. Pour démontrer que cette conjecture est toujours valable, désigner le premier des cinq entiers par la lettre \(n\). Exprimer ensuite les quatre autres entiers.

Soit \(n\) le premier entier.

Les cinq entiers consécutifs sont donc : \[ \begin{align*} 1. & \quad n \\ 2. & \quad n + 1 \\ 3. & \quad n + 2 \\ 4. & \quad n + 3 \\ 5. & \quad n + 4 \\ \end{align*} \]

d. Calculer la somme de ces cinq entiers et démontrer la conjecture.

Additionnons les cinq entiers : \[ n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) \]

Regroupons les termes similaires : \[ n + n + n + n + n + 1 + 2 + 3 + 4 = 5n + 10 \]

Donc, la somme des cinq entiers consécutifs est : \[ 5n + 10 \]

Démonstration de la conjecture : La somme peut être exprimée comme : \[ 5n + 10 = 5(n + 2) \] Cela montre que la somme est toujours divisible par 5, quel que soit le premier entier \(n\). Ainsi, la conjecture selon laquelle la somme de cinq entiers consécutifs est de la forme \(5n + 10\) est toujours valable.

e. Que peut-on dire de la somme de six entiers consécutifs ? Justifier la réponse.

Considérons six entiers consécutifs, avec le premier entier désigné par \(n\): \[ n, \quad n + 1, \quad n + 2, \quad n + 3, \quad n + 4, \quad n + 5 \]

Calculons leur somme : \[ n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) \] \[ = 6n + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 6n + 15 \] \[ = 3(2n + 5) \]

Conclusion : La somme de six entiers consécutifs est toujours un multiple de 3, puisqu’elle peut être exprimée comme \(3 \times (2n + 5)\). Cela signifie que, indépendamment du premier entier \(n\), la somme sera divisible par 3.