Exercice 112

Soient les polynômes

• \(A = x^{2} + 2\)
• \(B = x^{2} - 2\)
• \(C = \frac{1}{2}x + 1\)

Former les polynômes :

1. \(2A - 5B + 4C\)
2. \(2A - (2B + A)\)
3. \((A - B) \cdot (A - B) + 3AB - (-B \cdot (-B - A))\)

Réponse

Résumé des résultats :

1. \(2A - 5B + 4C = -3x^{2} + 2x + 18\)
2. \(2A - (2B + A) = -x^{2} + 6\)
3. \((A - B)^2 + 3AB - (-B(-B - A)) = 5x^{4} - 4x^{2} + 4\)

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice sur les polynômes

Nous allons former et simplifier les polynômes demandés en utilisant les expressions données pour \(A\), \(B\) et \(C\).

Données de l’exercice

Les polynômes sont définis par :

• \(A = x^{2} + 2\)
• \(B = x^{2} - 2\)
• \(C = \dfrac{1}{2}x + 1\)

1. Calcul de \(2A - 5B + 4C\)

Étape 1 : Remplacer \(A\), \(B\) et \(C\) par leurs expressions.

\[ 2A - 5B + 4C = 2(x^{2} + 2) - 5(x^{2} - 2) + 4\left(\dfrac{1}{2}x + 1\right) \]

Étape 2 : Développer chaque terme.

\[ = 2x^{2} + 4 - 5x^{2} + 10 + 2x + 4 \]

Étape 3 : Regrouper les termes similaires.

• Les termes en \(x^{2}\) : \(2x^{2} - 5x^{2} = -3x^{2}\)
• Les termes en \(x\) : \(2x\)
• Les constantes : \(4 + 10 + 4 = 18\)

Étape 4 : Écrire le polynôme simplifié.

\[ 2A - 5B + 4C = -3x^{2} + 2x + 18 \]

2. Calcul de \(2A - (2B + A)\)

Étape 1 : Remplacer \(A\) et \(B\) par leurs expressions.

\[ 2A - (2B + A) = 2(x^{2} + 2) - \left[2(x^{2} - 2) + (x^{2} + 2)\right] \]

Étape 2 : Développer chaque terme à l’intérieur des parenthèses.

\[ = 2x^{2} + 4 - [2x^{2} - 4 + x^{2} + 2] \]

Étape 3 : Simplifier le contenu des crochets.

\[ = 2x^{2} + 4 - (3x^{2} - 2) \]

Étape 4 : Enlever les parenthèses en changeant les signes.

\[ = 2x^{2} + 4 - 3x^{2} + 2 \]

Étape 5 : Regrouper les termes similaires.

• Les termes en \(x^{2}\) : \(2x^{2} - 3x^{2} = -x^{2}\)
• Les constantes : \(4 + 2 = 6\)

Étape 6 : Écrire le polynôme simplifié.

\[ 2A - (2B + A) = -x^{2} + 6 \]

3. Calcul de \((A - B) \cdot (A - B) + 3AB - (-B \cdot (-B - A))\)

Étape 1 : Remplacer \(A\) et \(B\) par leurs expressions.

\[ (A - B)(A - B) + 3AB - (-B(-B - A)) = (x^{2} + 2 - (x^{2} - 2))^{2} + 3(x^{2} + 2)(x^{2} - 2) - \left[-(x^{2} - 2)\left(-(x^{2} - 2) - (x^{2} + 2)\right)\right] \]

Étape 2 : Simplifier \(A - B\).

\[ A - B = (x^{2} + 2) - (x^{2} - 2) = 4 \]

Étape 3 : Calculer \((A - B)^2\).

\[ (A - B)^2 = 4^2 = 16 \]

Étape 4 : Calculer \(3AB\).

\[ AB = (x^{2} + 2)(x^{2} - 2) = x^{4} - 4 \] \[ 3AB = 3(x^{4} - 4) = 3x^{4} - 12 \]

Étape 5 : Simplifier \(-B(-B - A)\).

\[ -B(-B - A) = -(x^{2} - 2)\left[-(x^{2} - 2) - (x^{2} + 2)\right] \] \[ = -(x^{2} - 2)(-2x^{2}) \] \[ = 2x^{2}(x^{2} - 2) = 2x^{4} - 4x^{2} \]

Étape 6 : Mettre toutes les parties ensemble.

\[ 16 + 3x^{4} - 12 + 2x^{4} - 4x^{2} \]

Étape 7 : Regrouper les termes similaires.

• Les termes en \(x^{4}\) : \(3x^{4} + 2x^{4} = 5x^{4}\)
• Les termes en \(x^{2}\) : \(-4x^{2}\)
• Les constantes : \(16 - 12 = 4\)

Étape 8 : Écrire le polynôme simplifié.

\[ (A - B)(A - B) + 3AB - (-B(-B - A)) = 5x^{4} - 4x^{2} + 4 \]

Résumé des résultats

1. \(2A - 5B + 4C = -3x^{2} + 2x + 18\)
2. \(2A - (2B + A) = -x^{2} + 6\)
3. \((A - B) \cdot (A - B) + 3AB - (-B \cdot (-B - A)) = 5x^{4} - 4x^{2} + 4\)