Exercice 110

Quel polynôme faut-il soustraire du polynôme \(x^{3} - 3x^{2} + 1\) pour obtenir \(x^{3} - \frac{7}{2}x^{2} + \frac{5}{3}\) ?

Réponse

Le polynôme à soustraire est \(S(x) = \frac{1}{2}x^{2} - \frac{2}{3}\).

Corrigé détaillé

Pour déterminer le polynôme \(S(x)\) qu’il faut soustraire de \(P(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1\) afin d’obtenir \(Q(x) = x^{3} - \frac{7}{2}x^{2} + \frac{5}{3}\), suivons les étapes suivantes :

Étape 1 : Établir l’équation de base

Nous avons l’équation suivante :

\[ P(x) - S(x) = Q(x) \]

Nous cherchons donc à exprimer \(S(x)\) en fonction de \(P(x)\) et \(Q(x)\).

Étape 2 : Isoler \(S(x)\)

Pour trouver \(S(x)\), nous réarrangeons l’équation :

\[ S(x) = P(x) - Q(x) \]

Étape 3 : Remplacer \(P(x)\) et \(Q(x)\) par leurs expressions

Substituons les expressions données pour \(P(x)\) et \(Q(x)\) :

\[ S(x) = \left( x^{3} - 3x^{2} + 1 \right) - \left( x^{3} - \frac{7}{2}x^{2} + \frac{5}{3} \right) \]

Étape 4 : Développer et simplifier

Développons l’expression en éliminant les parenthèses :

\[ S(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1 - x^{3} + \frac{7}{2}x^{2} - \frac{5}{3} \]

Simplifions maintenant les termes similaires :

1. Les termes en \(x^{3}\) :

\[ x^{3} - x^{3} = 0 \]

2. Les termes en \(x^{2}\) :

\[ -3x^{2} + \frac{7}{2}x^{2} = \left( -3 + \frac{7}{2} \right) x^{2} = \left( -\frac{6}{2} + \frac{7}{2} \right) x^{2} = \frac{1}{2}x^{2} \]

3. Les termes constants :

\[ 1 - \frac{5}{3} = \frac{3}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{2}{3} \]

Étape 5 : Écrire le polynôme \(S(x)\) final

Après simplification, le polynôme \(S(x)\) est :

\[ S(x) = \frac{1}{2}x^{2} - \frac{2}{3} \]

Conclusion

Ainsi, le polynôme à soustraire de \(P(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1\) pour obtenir \(Q(x) = x^{3} - \frac{7}{2}x^{2} + \frac{5}{3}\) est :

\[ S(x) = \frac{1}{2}x^{2} - \frac{2}{3} \]