Question : Effectuez et réduisez les expressions suivantes.
\(\left(5,2\,x^{2} - 1,8\,x + \dfrac{3}{5}\right) - \left(3,1\,x^{2} - 2,4\,x - \dfrac{1}{3}\right) =\)
\(\dfrac{3}{5} \cdot \left(\dfrac{2}{7} \cdot b^{2}\right) =\)
\(-0,35 \cdot (4x + 2) =\)
\(\left(\dfrac{5}{6}\,y - 2\right) \cdot \left(3y + \dfrac{1}{3}\right) =\)
\(4,8\,x - 0,6\,x(5x + 0,2) =\)
\(2\left(\dfrac{3}{4}\,y - 0,5\right) + \dfrac{2}{5}(15 - 5y) =\)
a) \(2{,}1\,x^{2} + 0{,}6\,x + \dfrac{14}{15}\)
b) \(\dfrac{6}{35}\,b^{2}\)
c) \(-1{,}4\,x - 0{,}7\)
d) \(\dfrac{5}{2}\,y^{2} - \dfrac{103}{18}\,y - \dfrac{2}{3}\)
e) \(-3x^{2} + 4{,}68\,x\)
f) \(-\dfrac{1}{2}\,y + 5\)
Étape 1 : Distribuer le signe négatif
Lorsque nous soustrayons deux expressions, il faut distribuer le signe négatif à chaque terme de la seconde parenthèse.
\[ 5,2\,x^{2} - 1,8\,x + \dfrac{3}{5} - 3,1\,x^{2} + 2,4\,x + \dfrac{1}{3} \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires
Calcul des termes en \(x^{2}\) :
\[ 5,2\,x^{2} - 3,1\,x^{2} = 2,1\,x^{2} \]
Calcul des termes en \(x\) :
\[ -1,8\,x + 2,4\,x = 0,6\,x \]
Calcul des termes constants :
Pour additionner \(\dfrac{3}{5}\) et \(\dfrac{1}{3}\), trouvons un dénominateur commun, qui est 15.
\[ \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15}, \quad \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{15} \] \[ \dfrac{9}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{14}{15} \]
Étape 3 : Écrire l’expression réduite
\[ 2,1\,x^{2} + 0,6\,x + \dfrac{14}{15} \]
Étape 1 : Effectuer la multiplication des fractions
\[ \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{3 \times 2}{5 \times 7} = \dfrac{6}{35} \]
Étape 2 : Appliquer la multiplication au terme \(b^{2}\)
\[ \dfrac{6}{35} \cdot b^{2} = \dfrac{6}{35}\,b^{2} \]
Expression réduite :
\[ \dfrac{6}{35}\,b^{2} \]
Étape 1 : Distribuer la multiplication par \(-0,35\)
\[ -0,35 \times 4x + (-0,35) \times 2 \]
Calcul des termes :
\[ -0,35 \times 4x = -1,4\,x \] \[ -0,35 \times 2 = -0,7 \]
Étape 2 : Écrire l’expression réduite
\[ -1,4\,x - 0,7 \]
Étape 1 : Appliquer la distributivité (FOIL)
\[ \left(\dfrac{5}{6}\,y\right) \times 3y + \left(\dfrac{5}{6}\,y\right) \times \dfrac{1}{3} - 2 \times 3y - 2 \times \dfrac{1}{3} \]
Calcul des termes :
\[ \dfrac{5}{6}\,y \times 3y = \dfrac{15}{6}\,y^{2} = \dfrac{5}{2}\,y^{2} \] \[ \dfrac{5}{6}\,y \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{18}\,y \] \[ -2 \times 3y = -6y \] \[ -2 \times \dfrac{1}{3} = -\dfrac{2}{3} \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires
\[ \dfrac{5}{2}\,y^{2} + \dfrac{5}{18}\,y - 6y - \dfrac{2}{3} \]
Simplification :
\[ \dfrac{5}{2}\,y^{2} + \left(\dfrac{5}{18} - 6\right)y - \dfrac{2}{3} \]
Convertissons \(6\) en fractions avec dénominateur 18 :
\[ 6 = \dfrac{108}{18} \] \[ \dfrac{5}{18} - \dfrac{108}{18} = -\dfrac{103}{18} \]
Expression réduite :
\[ \dfrac{5}{2}\,y^{2} - \dfrac{103}{18}\,y - \dfrac{2}{3} \]
Étape 1 : Distribuer \(-0,6\,x\) dans la parenthèse
\[ 4,8\,x - 0,6\,x \times 5x - 0,6\,x \times 0,2 \]
Calcul des termes :
\[ -0,6\,x \times 5x = -3,0\,x^{2} \] \[ -0,6\,x \times 0,2 = -0,12\,x \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires
\[ 4,8\,x - 0,12\,x - 3,0\,x^{2} \]
Simplification :
\[ -3,0\,x^{2} + (4,8 - 0,12)\,x \] \[ -3,0\,x^{2} + 4,68\,x \]
Expression réduite :
\[ -3x^{2} + 4,68\,x \]
Étape 1 : Distribuer les coefficients dans chaque parenthèse
\[ 2 \times \dfrac{3}{4}\,y + 2 \times (-0,5) + \dfrac{2}{5} \times 15 + \dfrac{2}{5} \times (-5y) \]
Calcul des termes :
\[ 2 \times \dfrac{3}{4}\,y = \dfrac{6}{4}\,y = \dfrac{3}{2}\,y \] \[ 2 \times (-0,5) = -1 \] \[ \dfrac{2}{5} \times 15 = \dfrac{30}{5} = 6 \] \[ \dfrac{2}{5} \times (-5y) = -2y \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires
\[ \dfrac{3}{2}\,y - 1 + 6 - 2y \]
Simplification :
\[ \dfrac{3}{2}\,y - 2y + ( -1 + 6 ) \] \[ \left(\dfrac{3}{2} - 2\right)\,y + 5 \] \[ -\dfrac{1}{2}\,y + 5 \]
Expression réduite :
\[ -\dfrac{1}{2}\,y + 5 \]