Exercice 107

Effectue et réduis.

1. \(\left(75\,c^{2} - 50\,d^{2}\right) + \left(125\,c^{2} - 100\,d^{2}\right) =\)

2. \(\left(75\,c^{2} - 50\,d^{2}\right) - \left(125\,c^{2} - 100\,d^{2}\right) =\)

3. \(20\,y^{2} + 30\,y^{2}z + \left(-35\,y^{2} + 40\,y^{2}z\right) =\)

4. \(20\,y^{2} + 30\,y^{2}z - \left(35\,y^{2} - 40\,y^{2}z\right) =\)

5. \(\left(8\,m^{2} - 24\,m\,n + 16\,n^{2}\right) + \left(12\,m^{2} - 20\,m\,n + 9\,n^{2}\right) =\)

6. \(8\,m^{2} - 24\,m\,n + 16\,n^{2} - \left(12\,m^{2} - 20\,m\,n + 9\,n^{2}\right) =\)

Réponse

Résumé des corrections :

Pour chaque exercice, les étapes consistent à : 1. Supprimer les parenthèses. 2. Regrouper les termes semblables. 3. Additionner les coefficients des termes similaires. 4. Écrire l’expression simplifiée finale.

Corrigé détaillé

Correction des exercices

a) \(\left(75\,c^{2} - 50\,d^{2}\right) + \left(125\,c^{2} - 100\,d^{2}\right) =\)

Étape 1 : Écrire l’expression sans les parenthèses

\[ 75\,c^{2} - 50\,d^{2} + 125\,c^{2} - 100\,d^{2} \]

Étape 2 : Regrouper les termes semblables

• Les termes en \(c^{2}\) : \(75\,c^{2}\) et \(125\,c^{2}\)
• Les termes en \(d^{2}\) : \(-50\,d^{2}\) et \(-100\,d^{2}\)

Étape 3 : Additionner les coefficients des termes semblables

• Pour \(c^{2}\) : \(75 + 125 = 200\)
• Pour \(d^{2}\) : \(-50 - 100 = -150\)

Étape 4 : Écrire l’expression simplifiée

\[ 200\,c^{2} - 150\,d^{2} \]

---

b) \(\left(75\,c^{2} - 50\,d^{2}\right) - \left(125\,c^{2} - 100\,d^{2}\right) =\)

Étape 1 : Développer l’expression en supprimant les parenthèses

\[ 75\,c^{2} - 50\,d^{2} - 125\,c^{2} + 100\,d^{2} \]

Étape 2 : Regrouper les termes semblables

• Les termes en \(c^{2}\) : \(75\,c^{2}\) et \(-125\,c^{2}\)
• Les termes en \(d^{2}\) : \(-50\,d^{2}\) et \(100\,d^{2}\)

Étape 3 : Effectuer les opérations sur les coefficients

• Pour \(c^{2}\) : \(75 - 125 = -50\)
• Pour \(d^{2}\) : \(-50 + 100 = 50\)

Étape 4 : Écrire l’expression simplifiée

\[ -50\,c^{2} + 50\,d^{2} \]

---

c) \(20\,y^{2} + 30\,y^{2}z + \left(-35\,y^{2} + 40\,y^{2}z\right) =\)

Étape 1 : Supprimer les parenthèses

\[ 20\,y^{2} + 30\,y^{2}z - 35\,y^{2} + 40\,y^{2}z \]

Étape 2 : Regrouper les termes semblables

• Les termes en \(y^{2}\) : \(20\,y^{2}\) et \(-35\,y^{2}\)
• Les termes en \(y^{2}z\) : \(30\,y^{2}z\) et \(40\,y^{2}z\)

Étape 3 : Additionner les coefficients

• Pour \(y^{2}\) : \(20 - 35 = -15\)
• Pour \(y^{2}z\) : \(30 + 40 = 70\)

Étape 4 : Écrire l’expression simplifiée

\[ -15\,y^{2} + 70\,y^{2}z \]

---

d) \(20\,y^{2} + 30\,y^{2}z - \left(35\,y^{2} - 40\,y^{2}z\right) =\)

Étape 1 : Développer l’expression en supprimant les parenthèses

\[ 20\,y^{2} + 30\,y^{2}z - 35\,y^{2} + 40\,y^{2}z \]

Étape 2 : Regrouper les termes semblables

• Les termes en \(y^{2}\) : \(20\,y^{2}\) et \(-35\,y^{2}\)
• Les termes en \(y^{2}z\) : \(30\,y^{2}z\) et \(40\,y^{2}z\)

Étape 3 : Additionner les coefficients

• Pour \(y^{2}\) : \(20 - 35 = -15\)
• Pour \(y^{2}z\) : \(30 + 40 = 70\)

Étape 4 : Écrire l’expression simplifiée

\[ -15\,y^{2} + 70\,y^{2}z \]

---

e) \(\left(8\,m^{2} - 24\,m\,n + 16\,n^{2}\right) + \left(12\,m^{2} - 20\,m\,n + 9\,n^{2}\right) =\)

Étape 1 : Supprimer les parenthèses

\[ 8\,m^{2} - 24\,m\,n + 16\,n^{2} + 12\,m^{2} - 20\,m\,n + 9\,n^{2} \]

Étape 2 : Regrouper les termes semblables

• Les termes en \(m^{2}\) : \(8\,m^{2}\) et \(12\,m^{2}\)
• Les termes en \(m\,n\) : \(-24\,m\,n\) et \(-20\,m\,n\)
• Les termes en \(n^{2}\) : \(16\,n^{2}\) et \(9\,n^{2}\)

Étape 3 : Additionner les coefficients

• Pour \(m^{2}\) : \(8 + 12 = 20\)
• Pour \(m\,n\) : \(-24 - 20 = -44\)
• Pour \(n^{2}\) : \(16 + 9 = 25\)

Étape 4 : Écrire l’expression simplifiée

\[ 20\,m^{2} - 44\,m\,n + 25\,n^{2} \]

---

f) \(8\,m^{2} - 24\,m\,n + 16\,n^{2} - \left(12\,m^{2} - 20\,m\,n + 9\,n^{2}\right) =\)

Étape 1 : Développer l’expression en supprimant les parenthèses

\[ 8\,m^{2} - 24\,m\,n + 16\,n^{2} - 12\,m^{2} + 20\,m\,n - 9\,n^{2} \]

Étape 2 : Regrouper les termes semblables

• Les termes en \(m^{2}\) : \(8\,m^{2}\) et \(-12\,m^{2}\)
• Les termes en \(m\,n\) : \(-24\,m\,n\) et \(20\,m\,n\)
• Les termes en \(n^{2}\) : \(16\,n^{2}\) et \(-9\,n^{2}\)

Étape 3 : Effectuer les opérations sur les coefficients

• Pour \(m^{2}\) : \(8 - 12 = -4\)
• Pour \(m\,n\) : \(-24 + 20 = -4\)
• Pour \(n^{2}\) : \(16 - 9 = 7\)

Étape 4 : Écrire l’expression simplifiée

\[ -4\,m^{2} - 4\,m\,n + 7\,n^{2} \]