Pour chaque expression en français, deux traductions sous forme d’expressions littérales sont proposées. Entourez celle qui est correcte.
| Expression en français | Expression littérale 1 | Expression littérale 2 |
|---|---|---|
| La somme de trois nombres pairs consécutifs | \(2x + 2(x + 2) + 2(x + 4)\) | \(2x + 2x + 2\) |
| Le produit d’un nombre et de sa moitié plus 6 | \(x \times \frac{x}{2} + 6\) | \(\frac{x}{2} (x + 6)\) |
| La différence entre le triple d’un nombre et 5 | \(3x - 5\) | \(3(x - 5)\) |
| Le carré d’un nombre diminué de 4 | \(x^2 - 4\) | \((x - 4)^2\) |
| La moitié de la somme de deux nombres naturels consécutifs | \(\frac{(x + (x + 1))}{2}\) | \(\frac{x}{2} + \frac{x + 1}{2}\) |
Dans chaque cas suivant, Julien prétend que les équations 1) et 2) sont équivalentes. A-t-il raison ?
| Exemple | Équation 1) | Équation 2) |
|---|---|---|
| a) | \(5x + 10 = 20\) | \(x + 2 = 4\) |
| b) | \(2(x - 3) = 8\) | \(2x - 6 = 8\) |
| c) | \(x^2 = 16\) | \(x = 4\) |
| d) | \(3y + 9 = 0\) | \(y = -3\) |
| e) | \(4(z - 2) = 12\) | \(4z - 8 = 12\) |
| f) | \(7a = 21\) | \(a = 3\) |
| g) | \(6b + 12 = 24\) | \(6(b + 2) = 24\) |
| h) | \(x + x + x = 15\) | \(3x = 15\) |
| i) | \(9 = 3c\) | \(c = 3\) |
| j) | \(0,5d = 2\) | \(d = 4\) |
| k) | \(8(w - 1) = 24\) | \(8w - 8 = 24\) |
| l) | \(10m = 50\) | \(m = 5\) |
Les traductions d’expressions françaises sont correctes. Toutes les paires d’équations sont équivalentes sauf le cas c) qui ne l’est pas.
Pour chaque expression en français, nous allons déterminer quelle traduction littérale est correcte parmi les deux propositions. Nous analyserons chaque cas étape par étape.
Correction :
La somme de trois nombres pairs consécutifs peut être représentée comme suit : - Supposons que le premier nombre pair soit \(2x\). - Le nombre suivant consécutif pair est \(2x + 2\). - Le troisième nombre pair consécutif est \(2x + 4\).
La somme des trois nombres est donc : \[ 2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 2x + 2(x + 2) + 2(x + 4) \] Ainsi, l’expression littérale correcte est \(2x + 2(x + 2) + 2(x + 4)\).
Correction :
Le produit d’un nombre \(x\) et de sa moitié est \(x \times \frac{x}{2}\). Ensuite, on ajoute 6 : \[ x \times \frac{x}{2} + 6 \] L’expression correcte est donc \(x \times \frac{x}{2} + 6\).
Correction :
Le triple d’un nombre \(x\) est \(3x\). La différence entre ce triple et 5 s’écrit : \[ 3x - 5 \] Ainsi, l’expression correcte est \(3x - 5\).
Correction :
Le “carré d’un nombre diminué de 4” signifie que l’on diminue le nombre \(x\) de 4 puis on élève le résultat au carré : \[ (x - 4)^2 \] Cependant, si l’on interprète “le carré d’un nombre” puis on diminue de 4, cela serait \(x^2 - 4\). La formulation exacte indique que le nombre est diminué avant d’être mis au carré. Donc, l’expression correcte est \((x - 4)^2\).
Correction :
La somme de deux nombres naturels consécutifs est \(x + (x + 1)\). La moitié de cette somme est : \[ \frac{x + (x + 1)}{2} \] Cela peut également être écrit en répartissant la division : \[ \frac{x}{2} + \frac{x + 1}{2} \] Les deux expressions sont mathématiquement équivalentes. Cependant, la première forme est plus directe et généralement préférée. Donc, les deux expressions sont correctes, mais \(\frac{(x + (x + 1))}{2}\) est la réponse recommandée.
Julien affirme que les équations 1) et 2) de chaque exemple sont équivalentes. Vérifions cette affirmation pour chaque cas.
Correction :
Résolvons chaque équation :
Équation 1 : \[ 5x + 10 = 20 \\ 5x = 20 - 10 \\ 5x = 10 \\ x = 2 \]
Équation 2 : \[ x + 2 = 4 \\ x = 4 - 2 \\ x = 2 \]
Les deux équations ont la même solution \(x = 2\). Donc, Julien a raison, les équations sont équivalentes.
Correction :
Développons l’Équation 1 : \[ 2(x - 3) = 8 \\ 2x - 6 = 8 \] Nous obtenons l’Équation 2. Donc, les deux équations sont identiques et équivalentes.
Correction :
Résolvons chaque équation :
Équation 1 : \[ x^2 = 16 \\ x = \pm 4 \]
Équation 2 : \[ x = 4 \]
L’Équation 1 a deux solutions (\(x = 4\) et \(x = -4\)), tandis que l’Équation 2 n’a qu’une seule solution (\(x = 4\)). Donc, les équations ne sont pas équivalentes.
Correction :
Résolvons l’Équation 1 : \[ 3y + 9 = 0 \\ 3y = -9 \\ y = -3 \] L’Équation 2 donne également \(y = -3\). Donc, les deux équations sont équivalentes.
Correction :
Développons l’Équation 1 : \[ 4(z - 2) = 12 \\ 4z - 8 = 12 \] Nous obtenons l’Équation 2. Donc, les deux équations sont équivalentes.
Correction :
Résolvons l’Équation 1 : \[ 7a = 21 \\ a = \frac{21}{7} \\ a = 3 \] L’Équation 2 donne également \(a = 3\). Donc, les deux équations sont équivalentes.
Correction :
Développons l’Équation 2 : \[ 6(b + 2) = 24 \\ 6b + 12 = 24 \] Nous obtenons l’Équation 1. Donc, les deux équations sont équivalentes.
Correction :
Simplifions l’Équation 1 : \[ x + x + x = 3x \] Donc, l’Équation 1 devient \(3x = 15\), qui est l’Équation 2. Donc, les deux équations sont équivalentes.
Correction :
Résolvons l’Équation 1 : \[ 9 = 3c \\ c = \frac{9}{3} \\ c = 3 \] L’Équation 2 donne également \(c = 3\). Donc, les deux équations sont équivalentes.
Correction :
Résolvons l’Équation 1 : \[ 0,5d = 2 \\ d = \frac{2}{0,5} \\ d = 4 \] L’Équation 2 donne également \(d = 4\). Donc, les deux équations sont équivalentes.
Correction :
Développons l’Équation 1 : \[ 8(w - 1) = 24 \\ 8w - 8 = 24 \] Nous obtenons l’Équation 2. Donc, les deux équations sont équivalentes.
Correction :
Résolvons l’Équation 1 : \[ 10m = 50 \\ m = \frac{50}{10} \\ m = 5 \] L’Équation 2 donne également \(m = 5\). Donc, les deux équations sont équivalentes.