Exercice 100

Exercice :

1. Soit \(A = 5x^{2} - 4x + 2\) et \(B = 3x^{2} + x - 3\).

   1. Calculez \(A\) et \(B\) pour \(x = -1\) puis pour \(x = 3\).

   2. Les expressions \(A\) et \(B\) sont-elles égales ?

2. Soit \(A = 4x^{2} + 2x - 5\) et \(B = 10x + 7\).

   1. Calculez \(A\) et \(B\) pour \(x = 0\) puis pour \(x = 2\).

   2. Les expressions \(A\) et \(B\) sont-elles égales ?

Réponse

1. Pour x = –1, A = 11 et B = –1; pour x = 3, A = 35 et B = 27. Les expressions A et B sont donc différentes.
   
2. Pour x = 0, A = –5 et B = 7; pour x = 2, A = 15 et B = 27. Encore une fois, A et B diffèrent.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

────────────────────────────── 1. On vous donne :   A = 5x² – 4x + 2
  B = 3x² + x – 3

1. Calculons A et B pour deux valeurs de x.

 • Pour x = –1
  1) Calcul de A pour x = –1 :

   – Remplacer x par –1 dans A :
    A(–1) = 5(–1)² – 4(–1) + 2
  2) Calculer (–1)² :
    (–1)² = 1
  3) Multiplier par 5 :
    5 × 1 = 5
  4) Calcul de –4(–1) :
    –4(–1) = 4
  5) Ajouter :
    A(–1) = 5 + 4 + 2 = 11

  2) Calcul de B pour x = –1 :

   – Remplacer x par –1 dans B :
    B(–1) = 3(–1)² + (–1) – 3
  1) (–1)² = 1, donc 3 × 1 = 3
  2) Ajouter les autres termes :
    B(–1) = 3 – 1 – 3
  3) Effectuer les additions :
    3 – 1 = 2, puis 2 – 3 = –1
  Donc, B(–1) = –1

 • Pour x = 3
  1) Calcul de A pour x = 3 :

   – Remplacer x par 3 dans A :
    A(3) = 5(3)² – 4(3) + 2
  1) Calculer (3)² = 9, puis 5 × 9 = 45
  2) Calculer –4 × 3 = –12
  3) Additionner :
    A(3) = 45 – 12 + 2
    45 – 12 = 33, et 33 + 2 = 35
  Ainsi, A(3) = 35

  2) Calcul de B pour x = 3 :

   – Remplacer x par 3 dans B :
    B(3) = 3(3)² + 3 – 3
  1) Calculer (3)² = 9, puis 3 × 9 = 27
  2) Faire l’addition :
    B(3) = 27 + 3 – 3
    27 + 3 = 30, et 30 – 3 = 27
  Donc, B(3) = 27

2. Comparons les expressions A et B.
    – Pour x = –1, nous avons A(–1) = 11 et B(–1) = –1 (différents).
    – Pour x = 3, nous avons A(3) = 35 et B(3) = 27 (différents).

Conclusion : Les expressions A et B ne donnent pas les mêmes valeurs pour ces x, donc elles ne sont pas identiques.

────────────────────────────── 2. On vous donne :   A = 4x² + 2x – 5
  B = 10x + 7

1. Calculons A et B pour x = 0 puis pour x = 2.

 • Pour x = 0
  1) Calcul de A pour x = 0 :

   – Remplacer x par 0 dans A :
    A(0) = 4(0)² + 2(0) – 5
   1) (0)² = 0, donc 4 × 0 = 0
   2) 2 × 0 = 0
    A(0) = 0 + 0 – 5 = –5

  2) Calcul de B pour x = 0 :

   – Remplacer x par 0 dans B :
    B(0) = 10(0) + 7
    B(0) = 0 + 7 = 7

 • Pour x = 2
  1) Calcul de A pour x = 2 :

   – Remplacer x par 2 dans A :
    A(2) = 4(2)² + 2(2) – 5
  1) (2)² = 4, donc 4 × 4 = 16
  2) 2 × 2 = 4
    A(2) = 16 + 4 – 5
   – Additionner : 16 + 4 = 20, puis 20 – 5 = 15
  Donc, A(2) = 15

  2) Calcul de B pour x = 2 :

   – Remplacer x par 2 dans B :
    B(2) = 10(2) + 7
    B(2) = 20 + 7 = 27

2. Comparons les expressions A et B dans ce cas.
    – Pour x = 0, A(0) = –5 tandis que B(0) = 7
    – Pour x = 2, A(2) = 15 tandis que B(2) = 27

Conclusion : Les valeurs de A et B sont différentes pour les deux valeurs choisies de x. Ainsi, les expressions A et B ne sont pas égales.

────────────────────────────── Réponses finales :

1a) Pour x = –1 : A = 11 et B = –1 ; pour x = 3 : A = 35 et B = 27.
1b) Les expressions A et B ne sont pas identiques.

2a) Pour x = 0 : A = –5 et B = 7 ; pour x = 2 : A = 15 et B = 27.
2b) Les expressions A et B ne sont pas identiques.

Cette démarche étape par étape permet de vérifier soigneusement que les expressions ne sont pas équivalentes car elles donnent des résultats différents pour au moins une valeur de x.