Exercice 97

Simplifiez les expressions suivantes :

1. \((2a + b) \cdot 3 - 5 \cdot (3a + b)\)
   
2. \((-x - y) \cdot x - x \cdot (2x - y)\)
   
3. \(\left(-2a^{2} + 2b\right) \cdot 2a - a \cdot \left(a^{2} + b\right)\)
   
4. \((2w + 3t) \cdot w - (4w + 2t) \cdot 2w\)
   
5. \(2w + 3t \cdot w - 4w + 3t \cdot 2w\)
   
6. \(-(a - b + c) \cdot 4 - 12 \cdot (2a + b - c)\)

Réponse

Voici les résultats finaux des exercices :

1. \(-9a - 2b\)
2. \(-3x^{2}\)
3. \(-5a^{3} + 3ab\)
4. \(-6w^{2} - tw\)
5. \(-2w + 9tw\)
6. \(-28a - 8b + 8c\)

Corrigé détaillé

Correction des exercices de mathématiques

Question 1

Simplifiez l’expression suivante : \[(2a + b) \cdot 3 - 5 \cdot (3a + b)\]

Étapes de simplification

1. Distribuer les nombres dans les parenthèses : \[ (2a + b) \cdot 3 = 2a \cdot 3 + b \cdot 3 = 6a + 3b \] \[ 5 \cdot (3a + b) = 5 \cdot 3a + 5 \cdot b = 15a + 5b \]

2. Substituer dans l’expression initiale : \[ 6a + 3b - (15a + 5b) \]

3. Appliquer la soustraction : \[ 6a - 15a + 3b - 5b = -9a - 2b \]

Résultat final

\[ -9a - 2b \]

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Question 2

Simplifiez l’expression suivante : \[(-x - y) \cdot x - x \cdot (2x - y)\]

Étapes de simplification

1. Distribuer les termes dans les parenthèses : \[ (-x - y) \cdot x = -x \cdot x - y \cdot x = -x^2 - xy \] \[ x \cdot (2x - y) = 2x \cdot x - x \cdot y = 2x^2 - xy \]

2. Substituer dans l’expression initiale : \[ -x^2 - xy - (2x^2 - xy) \]

3. Appliquer la soustraction : \[ -x^2 - xy - 2x^2 + xy \]

4. Combiner les termes similaires : \[ (-x^2 - 2x^2) + (-xy + xy) = -3x^2 + 0 = -3x^2 \]

Résultat final

\[ -3x^2 \]

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Question 3

Simplifiez l’expression suivante : \[\left(-2a^{2} + 2b\right) \cdot 2a - a \cdot \left(a^{2} + b\right)\]

Étapes de simplification

1. Distribuer les termes dans les parenthèses : \[ \left(-2a^{2} + 2b\right) \cdot 2a = -2a^{2} \cdot 2a + 2b \cdot 2a = -4a^3 + 4ab \] \[ a \cdot \left(a^{2} + b\right) = a \cdot a^{2} + a \cdot b = a^3 + ab \]

2. Substituer dans l’expression initiale : \[ -4a^3 + 4ab - (a^3 + ab) \]

3. Appliquer la soustraction : \[ -4a^3 + 4ab - a^3 - ab \]

4. Combiner les termes similaires : \[ (-4a^3 - a^3) + (4ab - ab) = -5a^3 + 3ab \]

Résultat final

\[ -5a^{3} + 3ab \]

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Question 4

Simplifiez l’expression suivante : \[(2w + 3t) \cdot w - (4w + 2t) \cdot 2w\]

Étapes de simplification

1. Distribuer les termes dans les parenthèses : \[ (2w + 3t) \cdot w = 2w \cdot w + 3t \cdot w = 2w^2 + 3tw \] \[ (4w + 2t) \cdot 2w = 4w \cdot 2w + 2t \cdot 2w = 8w^2 + 4tw \]

2. Substituer dans l’expression initiale : \[ 2w^2 + 3tw - (8w^2 + 4tw) \]

3. Appliquer la soustraction : \[ 2w^2 + 3tw - 8w^2 - 4tw \]

4. Combiner les termes similaires : \[ (2w^2 - 8w^2) + (3tw - 4tw) = -6w^2 - tw \]

Résultat final

\[ -6w^{2} - tw \]

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Question 5

Simplifiez l’expression suivante : \[2w + 3t \cdot w - 4w + 3t \cdot 2w\]

Étapes de simplification

1. Effectuer les multiplications : \[ 3t \cdot w = 3tw \] \[ 3t \cdot 2w = 6tw \]

2. Substituer dans l’expression initiale : \[ 2w + 3tw - 4w + 6tw \]

3. Combiner les termes similaires :

   • Les termes en \(w\): \[ 2w - 4w = -2w \]
   • Les termes en \(tw\): \[ 3tw + 6tw = 9tw \]

4. Assembler les résultats : \[ -2w + 9tw \]

Résultat final

\[ -2w + 9tw \]

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Question 6

Simplifiez l’expression suivante : \[-(a - b + c) \cdot 4 - 12 \cdot (2a + b - c)\]

Étapes de simplification

1. Distribuer les nombres dans les parenthèses : \[ -(a - b + c) \cdot 4 = -4(a - b + c) = -4a + 4b - 4c \] \[ 12 \cdot (2a + b - c) = 12 \cdot 2a + 12 \cdot b - 12 \cdot c = 24a + 12b - 12c \]

2. Substituer dans l’expression initiale : \[ -4a + 4b - 4c - (24a + 12b - 12c) \]

3. Appliquer la soustraction : \[ -4a + 4b - 4c - 24a - 12b + 12c \]

4. Combiner les termes similaires : \[ (-4a - 24a) + (4b - 12b) + (-4c + 12c) = -28a - 8b + 8c \]

Résultat final

\[ -28a - 8b + 8c \]