Quel polynôme doit être ajouté au polynôme \(x^{3} - 4x + 1\) afin d’obtenir \(x + 3\) ?
Le polynôme à ajouter est \(-x^{3} + 5x + 2\).
Pour résoudre ce problème, nous devons déterminer quel polynôme doit être ajouté au polynôme \(x^{3} - 4x + 1\) pour obtenir \(x + 3\). Suivons les étapes ci-dessous pour arriver à la solution.
Nous recherchons un polynôme \(P(x)\) tel que : \[ P(x) + \left( x^{3} - 4x + 1 \right) = x + 3 \]
Pour trouver \(P(x)\), nous devons isoler ce polynôme dans l’équation donnée. Pour ce faire, nous soustrayons \(x^{3} - 4x + 1\) des deux côtés de l’équation : \[ P(x) = \left( x + 3 \right) - \left( x^{3} - 4x + 1 \right) \]
Maintenant, développons l’expression obtenue en soustrayant le polynôme : \[ P(x) = x + 3 - x^{3} + 4x - 1 \] \[ P(x) = -x^{3} + (x + 4x) + (3 - 1) \] \[ P(x) = -x^{3} + 5x + 2 \]
Le polynôme qui doit être ajouté est donc : \[ P(x) = -x^{3} + 5x + 2 \]
Pour vérifier que notre solution est correcte, ajoutons \(P(x)\) au polynôme initial et assurons-nous d’obtenir \(x + 3\) : \[ P(x) + \left( x^{3} - 4x + 1 \right) = \left( -x^{3} + 5x + 2 \right) + \left( x^{3} - 4x + 1 \right) \] \[ = (-x^{3} + x^{3}) + (5x - 4x) + (2 + 1) \] \[ = 0x^{3} + x + 3 \] \[ = x + 3 \]
La vérification confirme que notre solution est correcte.
Le polynôme à ajouter est : \[ \boxed{ -x^{3} + 5x + 2 } \]