Exercice 91

Réduire chacune des expressions suivantes :

1. \(a^{4} \cdot 5a b^{2}\)

2. \(2x^{3} \cdot (-4x^{2} y)\)

3. \(3a \cdot 2b^{2} \cdot 4a b\)

4. \((+x^{2}) \cdot (-2x y) \cdot (+3y)\)

5. \((-3a^{3} b) \cdot 2a^{2} b \cdot (-a b)\)

6. \(2x y \cdot 3x^{2} y \cdot (-x y)\)

Réponse

Résumé des résultats réduits :

1. \(5a^{5}b^{2}\)

2. \(-8x^{5}y\)

3. \(24a^{2}b^{3}\)

4. \(-6x^{2}y^{2}\)

5. \(6a^{6}b^{3}\)

6. \(-6x^{4}y^{3}\)

Corrigé détaillé

Voici les corrections détaillées pour chaque exercice de réduction des expressions algébriques :

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1) \(a^{4} \cdot 5a b^{2}\)

Étapes de réduction :

1. Identifier les coefficients numériques :

   • \(a^{4}\) a un coefficient de 1.
   • \(5a b^{2}\) a un coefficient de 5.

2. Multiplier les coefficients : \[ 1 \times 5 = 5 \]

3. Appliquer la propriété des puissances pour le même facteur :

   • Pour \(a^{4}\) et \(a\) (qui est \(a^{1}\)) : \[ a^{4} \times a^{1} = a^{4+1} = a^{5} \]

4. Garder les autres variables telles quelles :

   • \(b^{2}\) reste inchangé, car il n’y a pas d’autre facteur de \(b\) à multiplier.

5. Assembler le tout : \[ 5 \times a^{5} \times b^{2} = 5a^{5}b^{2} \]

Résultat réduit : \[ 5a^{5}b^{2} \]

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2) \(2x^{3} \cdot (-4x^{2} y)\)

Étapes de réduction :

1. Identifier les coefficients numériques :

   • \(2x^{3}\) a un coefficient de 2.
   • \(-4x^{2} y\) a un coefficient de -4.

2. Multiplier les coefficients : \[ 2 \times (-4) = -8 \]

3. Appliquer la propriété des puissances pour le même facteur :

   • Pour \(x^{3}\) et \(x^{2}\) : \[ x^{3} \times x^{2} = x^{3+2} = x^{5} \]

4. Garder les autres variables telles quelles :

   • \(y\) reste inchangé.

5. Assembler le tout : \[ -8 \times x^{5} \times y = -8x^{5}y \]

Résultat réduit : \[ -8x^{5}y \]

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3) \(3a \cdot 2b^{2} \cdot 4a b\)

Étapes de réduction :

1. Multiplier les coefficients numériques : \[ 3 \times 2 \times 4 = 24 \]

2. Appliquer la propriété des puissances pour chaque variable :

   • Pour \(a\) et \(a\) : \[ a \times a = a^{1+1} = a^{2} \]

   • Pour \(b^{2}\) et \(b\) (qui est \(b^{1}\)) : \[ b^{2} \times b^{1} = b^{2+1} = b^{3} \]

3. Assembler le tout : \[ 24 \times a^{2} \times b^{3} = 24a^{2}b^{3} \]

Résultat réduit : \[ 24a^{2}b^{3} \]

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4) \((+x^{2}) \cdot (-2x y) \cdot (+3y)\)

Étapes de réduction :

1. Multiplier les coefficients numériques en tenant compte des signes : \[ (+1) \times (-2) \times (+3) = -6 \]

2. Appliquer la propriété des puissances pour \(x\) :

   • \(x^{2}\) est le seul facteur en \(x\) : \[ x^{2} \]

3. Appliquer la propriété des puissances pour \(y\) :

   • \(y\) et \(y\) : \[ y \times y = y^{1+1} = y^{2} \]

4. Assembler le tout : \[ -6 \times x^{2} \times y^{2} = -6x^{2}y^{2} \]

Résultat réduit : \[ -6x^{2}y^{2} \]

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5) \((-3a^{3} b) \cdot 2a^{2} b \cdot (-a b)\)

Étapes de réduction :

1. Multiplier les coefficients numériques en tenant compte des signes : \[ (-3) \times 2 \times (-1) = 6 \]

2. Appliquer la propriété des puissances pour \(a\) :

   • \(a^{3}\), \(a^{2}\) et \(a\) (qui est \(a^{1}\)) : \[ a^{3} \times a^{2} \times a^{1} = a^{3+2+1} = a^{6} \]

3. Appliquer la propriété des puissances pour \(b\) :

   • \(b\), \(b\) et \(b\) : \[ b^1 \times b^1 \times b^1 = b^{1+1+1} = b^{3} \]

4. Assembler le tout : \[ 6 \times a^{6} \times b^{3} = 6a^{6}b^{3} \]

Résultat réduit : \[ 6a^{6}b^{3} \]

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6) \(2x y \cdot 3x^{2} y \cdot (-x y)\)

Étapes de réduction :

1. Multiplier les coefficients numériques en tenant compte des signes : \[ 2 \times 3 \times (-1) = -6 \]

2. Appliquer la propriété des puissances pour \(x\) :

   • \(x\), \(x^{2}\) et \(x\) (qui est \(x^{1}\)) : \[ x^{1} \times x^{2} \times x^{1} = x^{1+2+1} = x^{4} \]

3. Appliquer la propriété des puissances pour \(y\) :

   • \(y\), \(y\) et \(y\) : \[ y^{1} \times y^{1} \times y^{1} = y^{1+1+1} = y^{3} \]

4. Assembler le tout : \[ -6 \times x^{4} \times y^{3} = -6x^{4}y^{3} \]

Résultat réduit : \[ -6x^{4}y^{3} \]

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