Exercice 90

Résoudre les équations littérales suivantes (x est l’inconnue) :

1. \(a x = a - 1\)
2. \((a - b) \cdot x = a\)
3. \(a x - b x = c\)
4. \(a x + b = c\)
5. \(b x - a = c x + b\)
6. \(a \cdot (x - a) = x - 2\)

Réponse

Résumé des solutions :

1. \(x = \dfrac{a - 1}{a}\)
2. \(x = \dfrac{a}{a - b}\)
3. \(x = \dfrac{c}{a - b}\)
4. \(x = \dfrac{c - b}{a}\)
5. \(x = \dfrac{a + b}{b - c}\)
6. \(x = \dfrac{a^2 - 2}{a - 1}\)

Corrigé détaillé

Correction des équations littérales

Nous allons résoudre chacune des équations suivantes en isolant la variable \(x\). Suivez attentivement chaque étape pour bien comprendre le processus.

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1) \(a x = a - 1\)

Étapes de résolution :

1. Isoler \(x\) :

   Pour isoler \(x\), nous devons diviser les deux côtés de l’équation par \(a\).

2. Application de la division :

   \[ x = \frac{a - 1}{a} \]

Solution finale :

\[ x = \frac{a - 1}{a} \]

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2) \((a - b) \cdot x = a\)

Étapes de résolution :

1. Isoler \(x\) :

   Divisons les deux côtés de l’équation par \((a - b)\) pour obtenir \(x\).

2. Application de la division :

   \[ x = \frac{a}{a - b} \]

Solution finale :

\[ x = \frac{a}{a - b} \]

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3) \(a x - b x = c\)

Étapes de résolution :

1. Factoriser \(x\) :

   Regroupons les termes en \(x\) :

   \[ x(a - b) = c \]

2. Isoler \(x\) :

   Divisons les deux côtés par \((a - b)\) :

   \[ x = \frac{c}{a - b} \]

Solution finale :

\[ x = \frac{c}{a - b} \]

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4) \(a x + b = c\)

Étapes de résolution :

1. Isoler le terme en \(x\) :

   Soustrayons \(b\) des deux côtés de l’équation :

   \[ a x = c - b \]

2. Isoler \(x\) :

   Divisons ensuite par \(a\) :

   \[ x = \frac{c - b}{a} \]

Solution finale :

\[ x = \frac{c - b}{a} \]

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5) \(b x - a = c x + b\)

Étapes de résolution :

1. Regrouper les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre :

   Soustrayons \(c x\) des deux côtés et ajoutons \(a\) :

   \[ b x - c x = b + a \]

2. Factoriser \(x\) :

   \[ x(b - c) = a + b \]

3. Isoler \(x\) :

   Divisons par \((b - c)\) :

   \[ x = \frac{a + b}{b - c} \]

Solution finale :

\[ x = \frac{a + b}{b - c} \]

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6) \(a \cdot (x - a) = x - 2\)

Étapes de résolution :

1. Développer le côté gauche :

   \[ a x - a^2 = x - 2 \]

2. Regrouper les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre :

   Soustrayons \(x\) des deux côtés et ajoutons \(a^2\) :

   \[ a x - x = a^2 - 2 \]

3. Factoriser \(x\) :

   \[ x(a - 1) = a^2 - 2 \]

4. Isoler \(x\) :

   Divisons par \((a - 1)\) :

   \[ x = \frac{a^2 - 2}{a - 1} \]

Solution finale :

\[ x = \frac{a^2 - 2}{a - 1} \]

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Résumé des solutions

1. \(x = \dfrac{a - 1}{a}\)
2. \(x = \dfrac{a}{a - b}\)
3. \(x = \dfrac{c}{a - b}\)
4. \(x = \dfrac{c - b}{a}\)
5. \(x = \dfrac{a + b}{b - c}\)
6. \(x = \dfrac{a^2 - 2}{a - 1}\)

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N’hésitez pas à revoir chaque étape pour bien comprendre la méthode de résolution des équations littérales.