Exercice 88

Simplifiez les expressions suivantes :

1. \((x+y) \cdot (x-y) - 3x - 3y\)

2. \(3a - 2b - 4 \cdot (3a - 2b)\)

3. \((2y - 1)^{2} - 5y \cdot (2y - 1) + 2y - 1\)

4. \(3a^{3} \cdot (2u - v) - 2a^{2} \cdot (2u - v) + 4u - 2v\)

5. \(3x - 2y - 5b \cdot (2y - 3x) + 6x - 4y\)

6. \((x - y)^{n} - 4x \cdot (x - y)^{n-1} + y \cdot (x - y)^{n-2}\)

Réponse

Résumé des corrections :

• Exercice 1 : \[x² - 3x - y² - 3y\]

• Exercice 2 : \[-9a + 6b\]

• Exercice 3 : \[-6y² + 3y\]

• Exercice 4 : \[6a^{3}u - 3a^{3}v - 4a^{2}u + 2a^{2}v + 4u - 2v\]

• Exercice 5 : \[(3 + 5b)(3x - 2y)\]

• Exercice 6 : \[(x - y)^{n-2}(-3x² + 2xy + y² + y)\]

Corrigé détaillé

Correction des exercices de simplification

Exercice 1

Simplifiez l’expression suivante : \[(x + y) \cdot (x - y) - 3x - 3y\]

Étape par étape :

1. Développer le produit \((x + y)(x - y)\) :

   Utilisons la formule de la différence de carrés : \[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2\]

   Appliquons-la à notre expression : \[ (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \]

2. Remplacer le produit développé dans l’expression initiale : \[ x^2 - y^2 - 3x - 3y \]

3. Réorganiser les termes pour regrouper les termes similaires : \[ x^2 - 3x - y^2 - 3y \]

4. Vérifier s’il est possible de factoriser davantage :

   Dans ce cas, les termes ne peuvent pas être factorisés davantage de manière simple.

Expression simplifiée finale : \[ x^2 - 3x - y^2 - 3y \]

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Exercice 2

Simplifiez l’expression suivante : \[3a - 2b - 4 \cdot (3a - 2b)\]

Étape par étape :

1. Développer le terme \(-4 \cdot (3a - 2b)\) : \[ -4 \cdot (3a - 2b) = -4 \cdot 3a + (-4) \cdot (-2b) = -12a + 8b \]

2. Remplacer dans l’expression initiale : \[ 3a - 2b - 12a + 8b \]

3. Regrouper les termes similaires :

   • Les termes en \(a\) : \[ 3a - 12a = -9a \]
   • Les termes en \(b\) : \[ -2b + 8b = 6b \]

4. Assembler les résultats : \[ -9a + 6b \]

Expression simplifiée finale : \[ -9a + 6b \]

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Exercice 3

Simplifiez l’expression suivante : \[(2y - 1)^{2} - 5y \cdot (2y - 1) + 2y - 1\]

Étape par étape :

1. Développer \((2y - 1)^2\) : \[ (2y - 1)^2 = (2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 1 + 1^2 = 4y^2 - 4y + 1 \]

2. Développer \(-5y \cdot (2y - 1)\) : \[ -5y \cdot (2y - 1) = -5y \cdot 2y + (-5y) \cdot (-1) = -10y^2 + 5y \]

3. Réassembler les termes développés avec les autres termes de l’expression : \[ 4y^2 - 4y + 1 - 10y^2 + 5y + 2y - 1 \]

4. Regrouper les termes similaires :

   • Les termes en \(y^2\) : \[ 4y^2 - 10y^2 = -6y^2 \]
   • Les termes en \(y\) : \[ -4y + 5y + 2y = 3y \]
   • Les constantes : \[ 1 - 1 = 0 \]

5. Combiner les résultats : \[ -6y^2 + 3y \]

Expression simplifiée finale : \[ -6y^2 + 3y \]

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Exercice 4

Simplifiez l’expression suivante : \[3a^{3} \cdot (2u - v) - 2a^{2} \cdot (2u - v) + 4u - 2v\]

Étape par étape :

1. Développer les termes avec \((2u - v)\) :

   • Pour \(3a^{3} \cdot (2u - v)\) : \[ 3a^{3} \cdot 2u - 3a^{3} \cdot v = 6a^{3}u - 3a^{3}v \]
   • Pour \(-2a^{2} \cdot (2u - v)\) : \[ -2a^{2} \cdot 2u + 2a^{2} \cdot v = -4a^{2}u + 2a^{2}v \]

2. Réassembler tous les termes : \[ 6a^{3}u - 3a^{3}v - 4a^{2}u + 2a^{2}v + 4u - 2v \]

3. Regrouper les termes similaires :

   • Les termes en \(a^{3}u\) : \[ 6a^{3}u \]
   • Les termes en \(a^{3}v\) : \[ -3a^{3}v \]
   • Les termes en \(a^{2}u\) : \[ -4a^{2}u \]
   • Les termes en \(a^{2}v\) : \[ 2a^{2}v \]
   • Les termes en \(u\) : \[ 4u \]
   • Les termes en \(v\) : \[ -2v \]

4. Factoriser par les puissances communes :

   • Facteur de \(a^{2}\) dans les deux termes avec \(a^{2}\) : \[ -4a^{2}u + 2a^{2}v = a^{2}(-4u + 2v) \]
   • Les autres termes restent tels quels.

5. Assembler les termes simplifiés : \[ 6a^{3}u - 3a^{3}v + a^{2}(-4u + 2v) + 4u - 2v \]

Expression simplifiée finale : \[ 6a^{3}u - 3a^{3}v - 4a^{2}u + 2a^{2}v + 4u - 2v \]

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Exercice 5

Simplifiez l’expression suivante : \[3x - 2y - 5b \cdot (2y - 3x) + 6x - 4y\]

Étape par étape :

1. Développer le terme \(-5b \cdot (2y - 3x)\) : \[ -5b \cdot 2y + (-5b) \cdot (-3x) = -10b y + 15b x \]

2. Remplacer dans l’expression initiale : \[ 3x - 2y -10b y + 15b x + 6x - 4y \]

3. Regrouper les termes similaires :

   • Les termes en \(x\) : \[ 3x + 6x + 15b x = 9x + 15b x \]
   • Les termes en \(y\) : \[ -2y -4y -10b y = -6y -10b y \]

4. Factoriser les expressions similaires :

   • Pour les termes en \(x\) : \[ 9x + 15b x = 3x(3 + 5b) \]
   • Pour les termes en \(y\) : \[ -6y -10b y = -2y(3 + 5b) \]

5. Assembler les termes factorisés : \[ 3x(3 + 5b) - 2y(3 + 5b) \]

6. Factoriser par \((3 + 5b)\) : \[ (3 + 5b)(3x - 2y) \]

Expression simplifiée finale : \[ (3 + 5b)(3x - 2y) \]

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Exercice 6

Simplifiez l’expression suivante : \[(x - y)^{n} - 4x \cdot (x - y)^{n-1} + y \cdot (x - y)^{n-2}\]

Étape par étape :

1. Identifier un facteur commun dans les termes :

   Observons que \((x - y)^{n-2}\) est présent dans tous les termes.

2. Factoriser \((x - y)^{n-2}\) : \[ (x - y)^{n-2} \left[ (x - y)^{2} - 4x (x - y) + y \right] \]

3. Développer l’expression entre crochets :

   1. Développons \((x - y)^{2}\) : \[ (x - y)^{2} = x^{2} - 2xy + y^{2} \]

   2. Développons \(-4x (x - y)\) : \[ -4x (x - y) = -4x^{2} + 4xy \]

   3. Ajouter le terme \(y\) : \[ y \]

4. Assembler les termes développés : \[ x^{2} - 2xy + y^{2} -4x^{2} + 4xy + y \]

5. Regrouper les termes similaires :

   • Les termes en \(x^{2}\) : \[ x^{2} -4x^{2} = -3x^{2} \]
   • Les termes en \(xy\) : \[ -2xy +4xy = 2xy \]
   • Les termes en \(y^{2}\) : \[ y^{2} \]
   • Le terme constant : \[ y \]

6. Combiner les résultats : \[ -3x^{2} + 2xy + y^{2} + y \]

7. Insérer cette expression dans la factorisation initiale : \[ (x - y)^{n-2} (-3x^{2} + 2xy + y^{2} + y) \]

Expression simplifiée finale : \[ (x - y)^{n-2} ( -3x^{2} + 2xy + y^{2} + y ) \]