Réduire les expressions suivantes :
\(\left(-\dfrac{2}{3} x^{2} y^{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{7}{12} y^{3}\right)\)
\(2 a^{3} \cdot \left(a^{4} - 2\right) - 7 a^{7} + 4 a^{3} \cdot \left(-\dfrac{6}{21 x^{5}}\right)\)
\(\dfrac{7 x - 2}{14} - \dfrac{x + 3}{7}\)
\((x + 3) \cdot (x + 5) - 3^{3}\)
\((2 x)^{2} \cdot (3 x - 2)\)
\((2 x + 3 x)^{3}\)
Exercice 1 : \[ \frac{7}{18}x^{2}y^{6} \]
Exercice 2 : \[ -5a^{7} - 4a^{3} - \frac{8a^{3}}{7x^{5}} \]
Exercice 3 : \[ \frac{5x - 8}{14} \]
Exercice 4 : \[ x^{2} + 8x - 12 \]
Exercice 5 : \[ 12x^{3} - 8x^{2} \]
Exercice 6 : \[ 125x^{3} \]
Voici les corrections détaillées pour les exercices proposés :
Réduire l’expression suivante :
\[ \left(-\dfrac{2}{3} x^{2} y^{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{7}{12} y^{3}\right) \]
Correction :
Multiplication des coefficients :
Multiplions les fractions :
\[ -\dfrac{2}{3} \times -\dfrac{7}{12} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{12} = \dfrac{14}{36} \]
Simplifions la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 2 :
\[ \dfrac{14 \div 2}{36 \div 2} = \dfrac{7}{18} \]
Multiplication des variables :
\[ x^{2} \times 1 = x^{2} \]
\[ y^{3} \times y^{3} = y^{3+3} = y^{6} \]
Assemblage du tout :
\[ \dfrac{7}{18} x^{2} y^{6} \]
Réponse réduite :
\[ \dfrac{7}{18} x^{2} y^{6} \]
Réduire l’expression suivante :
\[ 2 a^{3} \cdot \left(a^{4} - 2\right) - 7 a^{7} + 4 a^{3} \cdot \left(-\dfrac{6}{21 x^{5}}\right) \]
Correction :
Développer les produits :
\[ 2 a^{3} \cdot a^{4} = 2 a^{7} \]
\[ 2 a^{3} \cdot (-2) = -4 a^{3} \]
\[ 4 a^{3} \cdot \left(-\dfrac{6}{21 x^{5}}\right) = -\dfrac{24 a^{3}}{21 x^{5}} = -\dfrac{8 a^{3}}{7 x^{5}} \quad \text{(Simplification en divisant numérateur et dénominateur par 3)} \]
Assembler les termes :
\[ 2 a^{7} - 4 a^{3} - 7 a^{7} - \dfrac{8 a^{3}}{7 x^{5}} \]
Regrouper les termes semblables :
Pour les \(a^{7}\) :
\[ 2 a^{7} - 7 a^{7} = -5 a^{7} \]
Pour les \(a^{3}\) :
\[ -4 a^{3} - \dfrac{8 a^{3}}{7 x^{5}} = -4 a^{3} \left(1 + \dfrac{2}{7 x^{5}}\right) \]
Toutefois, sauf si une simplification supplémentaire est requise, on peut laisser les termes tels quels.
Expression finale réduite :
\[ -5 a^{7} - 4 a^{3} - \dfrac{8 a^{3}}{7 x^{5}} \]
Réduire l’expression suivante :
\[ \dfrac{7 x - 2}{14} - \dfrac{x + 3}{7} \]
Correction :
Trouver un dénominateur commun :
Le dénominateur commun est 14.
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun :
\[ \dfrac{x + 3}{7} = \dfrac{2(x + 3)}{14} = \dfrac{2x + 6}{14} \]
Assembler les fractions :
\[ \dfrac{7 x - 2}{14} - \dfrac{2x + 6}{14} = \dfrac{(7x - 2) - (2x + 6)}{14} \]
Effectuer la soustraction au numérateur :
\[ (7x - 2) - (2x + 6) = 7x - 2 - 2x - 6 = 5x - 8 \]
Expression finale réduite :
\[ \dfrac{5x - 8}{14} \]
Réduire l’expression suivante :
\[ (x + 3) \cdot (x + 5) - 3^{3} \]
Correction :
Développer le produit :
\[ (x + 3)(x + 5) = x \cdot x + x \cdot 5 + 3 \cdot x + 3 \cdot 5 = x^{2} + 5x + 3x + 15 = x^{2} + 8x + 15 \]
Calculer \(3^{3}\) :
\[ 3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27 \]
Assembler l’expression complète :
\[ x^{2} + 8x + 15 - 27 = x^{2} + 8x - 12 \]
Réponse réduite :
\[ x^{2} + 8x - 12 \]
Réduire l’expression suivante :
\[ (2 x)^{2} \cdot (3 x - 2) \]
Correction :
Élever \(2x\) au carré :
\[ (2x)^{2} = 4x^{2} \]
Multiplier par \(3x - 2\) :
\[ 4x^{2} \cdot (3x - 2) = 4x^{2} \times 3x - 4x^{2} \times 2 = 12x^{3} - 8x^{2} \]
Réponse réduite :
\[ 12x^{3} - 8x^{2} \]
Réduire l’expression suivante :
\[ (2 x + 3 x)^{3} \]
Correction :
Simplifier à l’intérieur des parenthèses :
\[ 2x + 3x = 5x \]
Élever \(5x\) au cube :
\[ (5x)^{3} = 5^{3} \times x^{3} = 125 x^{3} \]
Réponse réduite :
\[ 125 x^{3} \]