Exercice 85

Réduire :

\(5x^{2} y^{3} \cdot \left(9x^{3} - y^{4} + 6\right)\)
\(4a^{2} - \left(6a - a^{2}\right) + 2a\)
\(a \cdot (a + 2) \cdot (2a - 1)\)
\(a + \frac{1}{2}a + 2a - \frac{1}{2}\)
\(3a \cdot (2a + 1) - 3 \cdot \left(a^{2} + 5a\right) - 2a^{2} + a\)
\(x \cdot \left(-\frac{4}{5} y\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}xy\right) + \frac{2}{3}x^{2} y^{2}\)

Réponse

Résumé des réductions :

\(45x^{5} y^{3} - 5x^{2} y^{7} + 30x^{2} y^{3}\)
\(5a^{2} - 4a\)
\(2a^{3} + 3a^{2} - 2a\)
\(\frac{7}{2}a - \frac{1}{2}\)
\(a^{2} - 11a\)
\(\frac{19}{15}x^{2} y^{2}\)

Corrigé détaillé

Correction des exercices de réduction

1. Réduire :

\[5x^{2} y^{3} \cdot \left(9x^{3} - y^{4} + 6\right)\]

Étapes de la réduction :

Distribuer \(5x^{2} y^{3}\) à chaque terme du polynôme :

\[ 5x^{2} y^{3} \cdot 9x^{3} = 45x^{5} y^{3} \] \[ 5x^{2} y^{3} \cdot (-y^{4}) = -5x^{2} y^{7} \] \[ 5x^{2} y^{3} \cdot 6 = 30x^{2} y^{3} \]

Assembler les termes obtenus :

\[ 45x^{5} y^{3} - 5x^{2} y^{7} + 30x^{2} y^{3} \]

Simplifier en combinant les termes semblables si possible :

Les termes \(45x^{5} y^{3}\) et \(-5x^{2} y^{7}\) ne sont pas semblables avec \(30x^{2} y^{3}\). Cependant, les termes \(45x^{5} y^{3}\) et \(30x^{2} y^{3}\) peuvent être regroupés si l’on souhaite factoriser par \(x^{2} y^{3}\).

Mais dans ce cas, la réduction se termine par :

\[ 45x^{5} y^{3} - 5x^{2} y^{7} + 30x^{2} y^{3} \]

2. Réduire :

\[4a^{2} - \left(6a - a^{2}\right) + 2a\]

Étapes de la réduction :

Développer les termes en enlevant les parenthèses :

\[ 4a^{2} - 6a + a^{2} + 2a \]

Regrouper les termes semblables :

Les termes avec \(a^{2}\) : \[ 4a^{2} + a^{2} = 5a^{2} \]

Les termes avec \(a\) : \[ -6a + 2a = -4a \]

Assembler les termes simplifiés :

\[ 5a^{2} - 4a \]

3. Réduire :

\[a \cdot (a + 2) \cdot (2a - 1)\]

Étapes de la réduction :

Développer le produit de deux binômes d’abord :

Développons \((a + 2)(2a - 1)\) : \[ a \cdot 2a = 2a^{2} \] \[ a \cdot (-1) = -a \] \[ 2 \cdot 2a = 4a \] \[ 2 \cdot (-1) = -2 \] Donc, \[ (a + 2)(2a - 1) = 2a^{2} + 3a - 2 \]

Multiplier le résultat par \(a\) :

\[ a \cdot (2a^{2} + 3a - 2) = 2a^{3} + 3a^{2} - 2a \]

4. Réduire :

\[a + \frac{1}{2}a + 2a - \frac{1}{2}\]

Étapes de la réduction :

Combiner les termes en \(a\) :

\[ a + \frac{1}{2}a + 2a = \left(1 + \frac{1}{2} + 2\right)a = \frac{7}{2}a \]

Assembler avec le terme constant :

\[ \frac{7}{2}a - \frac{1}{2} \]

5. Réduire :

\[3a \cdot (2a + 1) - 3 \cdot \left(a^{2} + 5a\right) - 2a^{2} + a\]

Étapes de la réduction :

Développer les produits :

\[ 3a \cdot (2a + 1) = 6a^{2} + 3a \] \[ -3 \cdot (a^{2} + 5a) = -3a^{2} - 15a \]

Assembler tous les termes :

\[ 6a^{2} + 3a - 3a^{2} - 15a - 2a^{2} + a \]

Regrouper les termes semblables :

Terme \(a^{2}\) : \[ 6a^{2} - 3a^{2} - 2a^{2} = a^{2} \]
Terme \(a\) : \[ 3a - 15a + a = -11a \]

Assembler les termes simplifiés :

\[ a^{2} - 11a \]

6. Réduire :

\[x \cdot \left(-\frac{4}{5} y\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}xy\right) + \frac{2}{3}x^{2} y^{2}\]

Étapes de la réduction :

Multiplier les coefficients :

\[ x \cdot \left(-\frac{4}{5} y\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}xy\right) = x \times \left(-\frac{4}{5} y\right) \times \left(-\frac{3}{4} x y\right) \]

Multipliant les coefficients : \[ -\frac{4}{5} \times -\frac{3}{4} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \]

Multiplier les variables :

\[ x \times x \times y \times y = x^{2} y^{2} \]

Assembler le premier terme :

\[ \frac{3}{5} x^{2} y^{2} \]

Ajouter le second terme :

\[ \frac{3}{5} x^{2} y^{2} + \frac{2}{3} x^{2} y^{2} \]

Additionner les coefficients :

Pour additionner \(\frac{3}{5}\) et \(\frac{2}{3}\), trouvons un dénominateur commun, qui est 15 : \[ \frac{3}{5} = \frac{9}{15}, \quad \frac{2}{3} = \frac{10}{15} \] \[ \frac{9}{15} + \frac{10}{15} = \frac{19}{15} \]

Assembler le résultat final :

\[ \frac{19}{15} x^{2} y^{2} \]