Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{3 \cdot (a + b)^{2}}{6 \cdot (a - b) \cdot (a + b)} \]
Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{6 - 2x}{x - 3} \]
Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{9x^{3} - 18x^{2}y}{3x^{5} - 6x^{4}y} \]
Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{-a^{2}b + a}{ab - a^{2}b^{2}} \]
Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{2a^{2} + 2b^{2}}{(a + b)^{2}} \]
Simplifiez l’expression suivante : \[ \frac{2x^{4}y^{3} - 8x^{2}y^{5}}{3x^{5}y^{2} - 12x^{3}y^{4}} \]
Réponses simplifiées : 7) (a + b)/[2(a – b)] 8) –2 9) 3/x² 10) 1/b 11) 2(a² + b²)/(a + b)² 12) 2y/(3x)
Voici la correction détaillée de chaque expression :
───────────────────────── Exercice 7) Expression à simplifier : (3 · (a + b)²) / (6 · (a – b) · (a + b))
Étape 1 : On remarque que le numérateur contient (a + b)² et le dénominateur (a + b) en facteur. On peut écrire : (a + b)² = (a + b) · (a + b).
Étape 2 : La fraction devient 3 · (a + b) · (a + b) ————————————— 6 · (a – b) · (a + b).
On constate qu’un facteur (a + b) apparaît à la fois en haut et en bas, il peut être annulé (pour a + b ≠ 0).
Étape 3 : On simplifie ensuite le coefficient 3/6 qui se réduit à 1/2. On obtient : (a + b) —————— 2 · (a – b).
La forme simplifiée est donc : (a + b) / [2(a – b)].
───────────────────────── Exercice 8) Expression à simplifier : (6 – 2x) / (x – 3)
Étape 1 : On commence par factoriser le numérateur. On peut extraire 2 : 6 – 2x = 2 · (3 – x).
Étape 2 : Remarquez que 3 – x est l’opposé de x – 3, en effet : 3 – x = – (x – 3).
Ainsi, le numérateur devient : 2 · (– (x – 3)) = –2 · (x – 3).
Étape 3 : La fraction se transforme en : –2 · (x – 3) ————————— x – 3.
On annule le facteur (x – 3) (en supposant x ≠ 3) et l’expression se simplifie en : –2.
───────────────────────── Exercice 9) Expression à simplifier : (9x³ – 18x²y) / (3x⁵ – 6x⁴y)
Étape 1 : Factorisons le numérateur. On remarque que 9x² est un facteur commun : 9x³ – 18x²y = 9x² · (x – 2y).
Étape 2 : Dans le dénominateur, factorisons 3x⁴ : 3x⁵ – 6x⁴y = 3x⁴ · (x – 2y).
Étape 3 : La fraction devient : 9x² · (x – 2y) ————————————— 3x⁴ · (x – 2y).
On annule le facteur commun (x – 2y) (pour x – 2y ≠ 0).
Étape 4 : On simplifie ensuite les coefficients et les puissances de x : 9x² / 3x⁴ = (9/3) · (x²/x⁴) = 3 · (1/x²).
La forme simplifiée est donc : 3/x².
───────────────────────── Exercice 10) Expression à simplifier : (–a²b + a) / (ab – a²b²)
Étape 1 : Factorisons le numérateur. On remarque que a est commun : –a²b + a = a · (–ab + 1) = a · (1 – ab).
Étape 2 : Factorisons le dénominateur. On remarque que ab est commun : ab – a²b² = ab · (1 – ab).
Étape 3 : On écrit la fraction sous la forme : a · (1 – ab) —————————— ab · (1 – ab).
On peut annuler le facteur commun (1 – ab) (pour 1 – ab ≠ 0).
Étape 4 : Après annulation, il reste : a / (ab) = 1 / b (pour a ≠ 0 et b ≠ 0).
La forme simplifiée est donc : 1/b.
───────────────────────── Exercice 11) Expression à simplifier : (2a² + 2b²) / (a + b)²
Étape 1 : Factorisons le numérateur en mettant 2 en facteur commun : 2a² + 2b² = 2 · (a² + b²).
L’expression est alors : 2(a² + b²) ───────────── (a + b)².
Étape 2 : Le dénominateur est développé sous la forme : (a + b)² = a² + 2ab + b².
On remarque qu’il n’existe pas de facteur commun évident entre (a² + b²) et (a² + 2ab + b²).
Ainsi, la forme simplifiée est : 2(a² + b²) / (a + b)².
───────────────────────── Exercice 12) Expression à simplifier : (2x⁴y³ – 8x²y⁵) / (3x⁵y² – 12x³y⁴)
Étape 1 : Factorisons le numérateur. Les termes 2x⁴y³ et 8x²y⁵ possèdent des facteurs communs. On peut extraire 2x²y³ : 2x⁴y³ – 8x²y⁵ = 2x²y³ · (x² – 4y²).
Étape 2 : Factorisons le dénominateur. Les termes 3x⁵y² et 12x³y⁴ ont x³y² en facteur commun. On écrit : 3x⁵y² – 12x³y⁴ = 3x³y² · (x² – 4y²).
Étape 3 : La fraction s’écrit alors : 2x²y³ · (x² – 4y²) ——————————————— 3x³y² · (x² – 4y²).
On annule le facteur commun (x² – 4y²) (pour x² – 4y² ≠ 0).
Étape 4 : Simplifions les puissances de x et de y : x² / x³ = 1/x et y³ / y² = y.
On obtient : (2y) / (3x).
La forme simplifiée est donc : 2y/(3x).
───────────────────────── Résumé des réponses :
Chaque étape a permis de mettre en évidence les facteurs communs et de simplifier progressivement chaque expression.