Question : Voici trois égalités vraies :
\[(5m + 7) + (14m - 3) = 19m + 4\]
\[(10n + 5) - (2n + 11) = 8n - 6\]
\[(16p - 4) - (9p - 2) = 7p - 2\]
Observe ces égalités pour établir une règle permettant d’additionner et de soustraire des polynômes.
Effectue et réduis les expressions littérales suivantes :
\((40m - 50) - (10m + 30) =\)
\((25n + 35) - (5n - 15) =\)
\((6p - 12) + (18 - 3p) =\)
Réponse courte :
a) (40m - 50) - (10m + 30) = 30m - 80
b) (25n + 35) - (5n - 15) = 20n + 50
c) (6p - 12) + (18 - 3p) = 3p + 6
On obtient ces résultats en distribuant le signe (lorsqu’il y a une soustraction) et en regroupant les termes semblables pour simplifier chaque expression.
Nous allons expliquer étape par étape comment procéder pour additionner ou soustraire des polynômes et ensuite appliquer la méthode aux expressions données.
────────────────────────────── 1) Établir la règle d’addition et de soustraction de polynômes
Pour additionner ou soustraire des polynômes nous devons :
• Regrouper les termes semblables : ce sont des termes qui
contiennent la même variable élevée à la même puissance.
Par exemple, dans l’égalité (5m + 7) + (14m - 3) = 19m + 4, on remarque
que 5m et 14m sont des termes semblables et que 7 et -3 sont des
constantes.
• Appliquer la bonne opération à chaque groupe de termes.
Lorsque vous ajoutez, vous additionnez directement les coefficients des
termes semblables.
Lorsque vous soustrayez, il faut être attentif à changer le signe de
chaque terme du polynôme que l’on soustrait (c’est-à-dire distribuer le
signe négatif devant la parenthèse).
────────────────────────────── 2) Effectuer et réduire les expressions littérales
────────────────────────────── a) Pour l’expression : (40m - 50) - (10m + 30)
Étape 1 : Supprimer les parenthèses en appliquant le signe moins devant le deuxième polynôme. (40m - 50) - (10m + 30) devient 40m - 50 - 10m - 30
Étape 2 : Regrouper les termes semblables. Termes en m : 40m -
10m
Termes constants : -50 - 30
Étape 3 : Effectuer les calculs. 40m - 10m = 30m
-50 - 30 = -80
Donc, (40m - 50) - (10m + 30) = 30m - 80
────────────────────────────── b) Pour l’expression : (25n + 35) - (5n - 15)
Étape 1 : Soustraire le polynôme en distribuant le signe négatif. (25n + 35) - (5n - 15) devient 25n + 35 - 5n + 15
Étape 2 : Regrouper les termes semblables. Termes en n : 25n -
5n
Termes constants : 35 + 15
Étape 3 : Effectuer les calculs. 25n - 5n = 20n
35 + 15 = 50
Donc, (25n + 35) - (5n - 15) = 20n + 50
────────────────────────────── c) Pour l’expression : (6p - 12) + (18 - 3p)
Étape 1 : Supprimer les parenthèses (ici, comme il y a une addition, aucun changement de signe n’est nécessaire). (6p - 12) + (18 - 3p) devient 6p - 12 + 18 - 3p
Étape 2 : Regrouper les termes semblables. Termes en p : 6p -
3p
Termes constants : -12 + 18
Étape 3 : Effectuer les calculs. 6p - 3p = 3p
-12 + 18 = 6
Donc, (6p - 12) + (18 - 3p) = 3p + 6
────────────────────────────── Résumé des résultats :
Cette méthode, qui consiste à distribuer les signes correctement puis à regrouper et simplifier les termes semblables, est la règle générale pour additionner et soustraire des polynômes.