Question : Entoure de la même couleur les expressions équivalentes.
\[ (x + y) + z \\ (6y)^{2} \\ (8x)(8k) \\ \frac{x}{4 + 1} \]
\[ p^{2} - q^{2} \]
\[ (x + y)z \\ \frac{x + k}{4} \\ xz + yz \\ (x - y) + z \quad \left(\frac{p}{6}\right)^{2} y - (k - z) \quad k - z \]
\[ x^{2} + z^{2} \quad (p - q)(p + q) \quad (x + z)^{2} \]
\[ 8(xk) \]
\[ x + (y + z) \]
\[ 12y^{2} \]
\[ \frac{p^{2}}{6^{2}} \]
\[ \frac{x}{4} + \frac{x}{5} \\ \frac{x}{4} + \frac{k}{4} \quad p - k \]
\[ (p - q)^{2} \]
Réponse :
• (x+y)+z = x+(y+z)
• (x+y)z = xz+yz
• p²–q² = (p–q)(p+q)
• (x+k)/4 = x/4 + k/4
Les autres expressions ne sont équivalentes à aucune autre.
Nous allons comparer les expressions proposées afin de regrouper celles qui sont égales (c’est-à-dire « équivalentes »). Pour cela, nous allons simplifier ou développer chaque expression et les comparer étape par étape. Voici la correction détaillée :
────────────────────────────── 1 – Regroupement portant sur la somme (associativité de l’addition)
Il est connu que l’addition est associative, c’est‑à‑dire que peu importe la façon de regrouper les termes, le résultat est le même. Par exemple :
• (x + y) + z
= x + y + z
De même, l’expression
• x + (y + z)
= x + y + z
Ces deux expressions représentent la même somme.
────────────────────────────── 2 – Regroupement portant sur la
distributivité (multiplication distributive sur une somme)
Considérons les expressions suivantes :
• (x + y)z
En appliquant la distributivité (c’est-à-dire multiplier z par chacun des termes entre parenthèses) on obtient : (x + y)z = xz + yz
L’expression
• xz + yz
est ainsi équivalente à (x + y)z.
────────────────────────────── 3 – Regroupement portant sur la
différence de carrés
On connaît la formule de la différence de deux carrés :
a² – b² = (a – b)(a + b)
En appliquant cela à p² – q², on a : p² – q² = (p – q)(p + q)
Ainsi, les expressions :
• p² – q² et • (p – q)(p + q)
sont équivalentes.
────────────────────────────── 4 – Regroupement portant sur la mise en
facteur d’un dénominateur commun
Considérons l’expression : (x + k)/4
On peut aussi écrire, en séparant le numérateur : (x + k)/4 = x/4 + k/4
Ainsi, les expressions :
• (x + k)/4 et • x/4 + k/4
sont équivalentes.
────────────────────────────── 5 – Les autres expressions
Les autres expressions ne se simplifient pas de la même manière ou ne sont pas égales entre elles. Nous les listons ici sans regroupement car aucune autre expression ne leur est équivalente dans cet exercice :
(6y)²
– En développant : (6y)² = 36y²
(8x)(8k)
– En multipliant : (8x)(8k) = 64 xk
x/(4 + 1)
– 4 + 1 = 5 donc x/(4 + 1) = x/5
(x – y) + z
– Cette expression est égale à x – y + z et ne peut pas se transformer
en x + y + z (voir groupe 1) à cause du signe négatif devant y.
(p/6)² y – (k – z)
– On ne peut pas simplifier cette expression pour la faire
correspondre à une autre.
k – z
– Reste tel quel.
x² + z²
– C’est la somme des carrés de x et z. Elle n’est pas égale à (x + z)²
car : (x + z)² = x² + 2xz + z²
(x + z)²
– Vaut x² + 2xz + z², donc différente de x² + z².
8(xk)
– En écrivant, cela donne 8xk, qui est différent de 64xk obtenu dans
(8x)(8k)
12y²
– Reste tel quel, et 12y² ≠ 36y².
p²/6²
– p²/6² = p²/36, qui n’est pas équivalent à p² – q² ou à d’autres
expressions déjà relevées.
x/4 + x/5
– Pour additionner ces deux fractions, on calcule un dénominateur
commun : Dénominateur commun = 20, x/4 = 5x/20 et x/5 = 4x/20,
donc x/4 + x/5 = (5x + 4x)/20 = 9x/20 Cette expression n’est pas
équivalente à (x + k)/4 ou x/4 + k/4.
p – k
– Reste tel quel.
(p – q)²
– Reste tel quel, car (p – q)² = p² – 2pq + q² qui est différent de p²
– q².
────────────────────────────── Conclusion – Regroupement par couleur
Pour résumer, on peut encercler avec la même couleur les expressions qui sont équivalentes :
• Groupe 1 (somme x + y + z) :
– (x + y) + z
– x + (y + z)
• Groupe 2 (distributivité) :
– (x + y)z
– xz + yz
• Groupe 3 (différence de carrés) :
– p² – q²
– (p – q)(p + q)
• Groupe 4 (même fraction) :
– (x + k)/4
– x/4 + k/4
Les autres expressions restent seules car aucune autre de celles proposées n’est équivalente à l’une d’elles.
────────────────────────────── Remarque aux élèves
Pour vérifier l’équivalence d’expressions, n’hésitez pas à :
– Utiliser la propriété associative pour l’addition,
– Employer la distributivité lorsque vous avez un produit sur une
somme,
– Reconnaître les identités remarquables (par exemple, la différence de
carrés),
– Mettre au même dénominateur pour additionner ou comparer des
fractions.
Cette démarche vous permettra de justifier pourquoi certaines expressions sont équivalentes et de regrouper celles qui le sont.
Voilà pour la correction complète de cet exercice.