Exercice 76

Question : Entoure de la même couleur les expressions équivalentes.

\((a + b) + c\)
\((3b)^{2}\)
\((7a)(7y)\)
\(\frac{a}{2 + 5}\)
\(m^{2} - n^{2}\)
\((a + b)c\)
\(\frac{a + y}{2}\)
\(ac + bc\)
\((a - b) + c \quad a - (b - c) \quad p - q\)
\(a^{2} + c^{2} \quad (m - n)(m + n) \quad (a + c)^{2}\)
\(7(ay)\)
\(a + (b + c)\)
\(8b^{2}\)
\(\frac{m^{2}}{4^{2}}\)
\(\frac{a}{2} + \frac{a}{5} \quad \frac{a}{2} + \frac{y}{2} \quad m - y\)
\((m - n)^{2}\)

Réponse

Résumé :

(a + b)c est équivalent à ac + bc.
(a - b) + c est équivalent à a - (b - c).
a + (b + c) est équivalent à (a + b) + c.

Les autres expressions n’ont pas d’équivalences dans leurs catégories.

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Objectif : Entourer de la même couleur les expressions équivalentes parmi les propositions données.

1. \((a + b) + c\)

Il n’y a qu’une seule expression dans cette ligne. Rien à entourer ici.

2. \((3b)^{2}\)

Équation unique dans cette catégorie. Pas d’équivalence à vérifier.

3. \((7a)(7y)\)

Expression unique, aucune autre expression à comparer.

4. \(\frac{a}{2 + 5}\)

Simplifions l’expression : \[ \frac{a}{2 + 5} = \frac{a}{7} \] —

5. \(m^{2} - n^{2}\)

C’est une différence de carrés qui peut être factorisée : \[ m^{2} - n^{2} = (m - n)(m + n) \]

6. \((a + b)c\)

Appliquons la distributivité : \[ (a + b)c = ac + bc \]

7. \(\frac{a + y}{2}\)

L’expression peut être réécrite en séparant le numérateur : \[ \frac{a + y}{2} = \frac{a}{2} + \frac{y}{2} \]

8. \(ac + bc\)

Factorisons \(c\) : \[ ac + bc = c(a + b) \]

9. \((a - b) + c \quad a - (b - c) \quad p - q\)

Analysons chaque expression :

\((a - b) + c = a - b + c\)
\(a - (b - c) = a - b + c\)
\(p - q\)

Les deux premières expressions sont égales : \[ (a - b) + c = a - b + c = a - (b - c) \] Donc, \((a - b) + c\) et \(a - (b - c)\) sont équivalentes.

10. \(a^{2} + c^{2} \quad (m - n)(m + n) \quad (a + c)^{2}\)

Analysons chaque expression :

\(a^{2} + c^{2}\) reste tel quel.
\((m - n)(m + n) = m^{2} - n^{2}\) (différence de carrés)
\((a + c)^{2} = a^{2} + 2ac + c^{2}\)

Aucune des expressions n’est équivalente aux autres.

11. \(7(ay)\)

Simplifions : \[ 7(ay) = 7a y \] Aucune autre expression à comparer dans cette catégorie.

12. \(a + (b + c)\)

Appliquons l’associativité : \[ a + (b + c) = (a + b) + c \]

13. \(8b^{2}\)

Expression unique, aucune équivalence à vérifier.

14. \(\frac{m^{2}}{4^{2}}\)

Simplifions : \[ \frac{m^{2}}{4^{2}} = \frac{m^{2}}{16} \]

15. \(\frac{a}{2} + \frac{a}{5} \quad \frac{a}{2} + \frac{y}{2} \quad m - y\)

Analysons chaque expression :

\(\frac{a}{2} + \frac{a}{5}\)

Pour additionner ces fractions, mettons-les au même dénominateur : \[ \frac{a}{2} + \frac{a}{5} = \frac{5a}{10} + \frac{2a}{10} = \frac{7a}{10} \]

\(\frac{a}{2} + \frac{y}{2}\)

Factorisons le dénominateur : \[ \frac{a}{2} + \frac{y}{2} = \frac{a + y}{2} \]

\(m - y\)

Aucune simplification possible.

Conclusion : Aucune des expressions n’est équivalente aux autres dans cette catégorie.

16. \((m - n)^{2}\)

Développons : \[ (m - n)^{2} = m^{2} - 2mn + n^{2} \] Aucune autre expression à comparer ici.

Résumé des équivalences

Ligne 6 et Ligne 8 : \[ (a + b)c \quad \text{et} \quad ac + bc \quad \text{sont équivalentes.} \]
Ligne 9 : \[ (a - b) + c \quad \text{et} \quad a - (b - c) \quad \text{sont équivalentes.} \]
Ligne 12 : \[ a + (b + c) \quad \text{et} \quad (a + b) + c \quad \text{sont équivalentes par associativité.} \]

Les autres expressions ne présentent pas d’équivalences dans leurs catégories respectives.