Question : Avec les quatre polynômes suivants :
Calcule :
\(4A\)
\(-3C\)
\(5B\)
\(-4D\)
\(A + B\)
\(-(3C + 3D)\)
\(4(A + B)\)
\(C - D\)
\(4A + 4B\)
\(D - C\)
\(A + A + A + A\)
\(3(C + D)\)
\(B + B + B + B + B\)
\(3C - 3D\)
Résumé de la correction de l’exercice sur les Polynômes :
\(4A = 8x^{2} + 16x - 28\)
\(-3C = -15x^{3} - 6x + \frac{3}{2}\)
\(5B = -15x + 25\)
\(-4D = -8x^{3} + 4x^{2} - 12x - 16\)
\(A + B = 2x^{2} + x - 2\)
\(-(3C + 3D) = -21x^{3} + 3x^{2} - 15x - \frac{21}{2}\)
\(4(A + B) = 8x^{2} + 4x - 8\)
\(C - D = 3x^{3} + x^{2} - x - \frac{9}{2}\)
\(4A + 4B = 8x^{2} + 4x - 8\)
\(D - C = -3x^{3} - x^{2} + x + \frac{9}{2}\)
\(A + A + A + A = 8x^{2} + 16x - 28\)
\(3(C + D) = 21x^{3} - 3x^{2} + 15x + \frac{21}{2}\)
\(B + B + B + B + B = -15x + 25\)
\(3C - 3D = 9x^{3} + 3x^{2} - 3x - \frac{27}{2}\)
Nous allons résoudre chaque partie de l’exercice en suivant les étapes nécessaires pour effectuer les opérations demandées sur les polynômes \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\).
Les polynômes donnés sont :
\[ \begin{align*} A &= 2x^{2} + 4x - 7 \\ B &= -3x + 5 \\ C &= 5x^{3} + 2x - \dfrac{1}{2} \\ D &= 2x^{3} - x^{2} + 3x + 4 \\ \end{align*} \]
Étape 1 : Multiplier chaque terme de \(A\) par \(4\).
\[ 4A = 4 \times (2x^{2} + 4x - 7) = 4 \times 2x^{2} + 4 \times 4x + 4 \times (-7) \]
Étape 2 : Effectuer les multiplications.
\[ 4A = 8x^{2} + 16x - 28 \]
Résultat :
\[ 4A = 8x^{2} + 16x - 28 \]
Étape 1 : Multiplier chaque terme de \(C\) par \(-3\).
\[ -3C = -3 \times \left(5x^{3} + 2x - \dfrac{1}{2}\right) = -3 \times 5x^{3} + (-3) \times 2x + (-3) \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) \]
Étape 2 : Effectuer les multiplications.
\[ -3C = -15x^{3} - 6x + \dfrac{3}{2} \]
Résultat :
\[ -3C = -15x^{3} - 6x + \dfrac{3}{2} \]
Étape 1 : Multiplier chaque terme de \(B\) par \(5\).
\[ 5B = 5 \times (-3x + 5) = 5 \times (-3x) + 5 \times 5 \]
Étape 2 : Effectuer les multiplications.
\[ 5B = -15x + 25 \]
Résultat :
\[ 5B = -15x + 25 \]
Étape 1 : Multiplier chaque terme de \(D\) par \(-4\).
\[ -4D = -4 \times \left(2x^{3} - x^{2} + 3x + 4\right) = -4 \times 2x^{3} + (-4) \times (-x^{2}) + (-4) \times 3x + (-4) \times 4 \]
Étape 2 : Effectuer les multiplications.
\[ -4D = -8x^{3} + 4x^{2} - 12x - 16 \]
Résultat :
\[ -4D = -8x^{3} + 4x^{2} - 12x - 16 \]
Étape 1 : Additionner les termes correspondants de \(A\) et \(B\).
\[ A + B = \left(2x^{2} + 4x - 7\right) + \left(-3x + 5\right) \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires.
\[ A + B = 2x^{2} + (4x - 3x) + (-7 + 5) \]
Étape 3 : Effectuer les opérations.
\[ A + B = 2x^{2} + x - 2 \]
Résultat :
\[ A + B = 2x^{2} + x - 2 \]
Étape 1 : Calculer \(3C + 3D\).
\[ 3C + 3D = 3 \times \left(5x^{3} + 2x - \dfrac{1}{2}\right) + 3 \times \left(2x^{3} - x^{2} + 3x + 4\right) \]
Étape 2 : Multiplier chaque terme par \(3\).
\[ 3C = 15x^{3} + 6x - \dfrac{3}{2} \\ 3D = 6x^{3} - 3x^{2} + 9x + 12 \]
Étape 3 : Additionner \(3C\) et \(3D\).
\[ 3C + 3D = (15x^{3} + 6x - \dfrac{3}{2}) + (6x^{3} - 3x^{2} + 9x + 12) \\ = 15x^{3} + 6x^{3} - 3x^{2} + 6x + 9x - \dfrac{3}{2} + 12 \\ = 21x^{3} - 3x^{2} + 15x + \dfrac{21}{2} \]
Étape 4 : Appliquer le signe moins.
\[ -(3C + 3D) = -21x^{3} + 3x^{2} - 15x - \dfrac{21}{2} \]
Résultat :
\[ -(3C + 3D) = -21x^{3} + 3x^{2} - 15x - \dfrac{21}{2} \]
Étape 1 : Calculer \(A + B\) (comme en partie e)).
\[ A + B = 2x^{2} + x - 2 \]
Étape 2 : Multiplier chaque terme de \(A + B\) par \(4\).
\[ 4(A + B) = 4 \times (2x^{2} + x - 2) = 4 \times 2x^{2} + 4 \times x + 4 \times (-2) \]
Étape 3 : Effectuer les multiplications.
\[ 4(A + B) = 8x^{2} + 4x - 8 \]
Résultat :
\[ 4(A + B) = 8x^{2} + 4x - 8 \]
Étape 1 : Soustraire chaque terme de \(D\) de \(C\).
\[ C - D = \left(5x^{3} + 2x - \dfrac{1}{2}\right) - \left(2x^{3} - x^{2} + 3x + 4\right) \]
Étape 2 : Distribuer le signe moins.
\[ C - D = 5x^{3} + 2x - \dfrac{1}{2} - 2x^{3} + x^{2} - 3x - 4 \]
Étape 3 : Regrouper les termes similaires.
\[ C - D = (5x^{3} - 2x^{3}) + x^{2} + (2x - 3x) + \left(-\dfrac{1}{2} - 4\right) \]
Étape 4 : Effectuer les opérations.
\[ C - D = 3x^{3} + x^{2} - x - \dfrac{9}{2} \]
Résultat :
\[ C - D = 3x^{3} + x^{2} - x - \dfrac{9}{2} \]
Étape 1 : Calculer \(4A\) (comme en partie a)) et \(4B\).
\[ 4A = 8x^{2} + 16x - 28 \\ 4B = 4 \times (-3x + 5) = -12x + 20 \]
Étape 2 : Additionner \(4A\) et \(4B\).
\[ 4A + 4B = (8x^{2} + 16x - 28) + (-12x + 20) \]
Étape 3 : Regrouper les termes similaires.
\[ 4A + 4B = 8x^{2} + (16x - 12x) + (-28 + 20) \]
Étape 4 : Effectuer les opérations.
\[ 4A + 4B = 8x^{2} + 4x - 8 \]
Résultat :
\[ 4A + 4B = 8x^{2} + 4x - 8 \]
Étape 1 : Soustraire chaque terme de \(C\) de \(D\).
\[ D - C = \left(2x^{3} - x^{2} + 3x + 4\right) - \left(5x^{3} + 2x - \dfrac{1}{2}\right) \]
Étape 2 : Distribuer le signe moins.
\[ D - C = 2x^{3} - x^{2} + 3x + 4 - 5x^{3} - 2x + \dfrac{1}{2} \]
Étape 3 : Regrouper les termes similaires.
\[ D - C = (2x^{3} - 5x^{3}) - x^{2} + (3x - 2x) + \left(4 + \dfrac{1}{2}\right) \]
Étape 4 : Effectuer les opérations.
\[ D - C = -3x^{3} - x^{2} + x + \dfrac{9}{2} \]
Résultat :
\[ D - C = -3x^{3} - x^{2} + x + \dfrac{9}{2} \]
Étape 1 : Additionner quatre fois le polynôme \(A\).
\[ A + A + A + A = 4A \]
Étape 2 : Utiliser le résultat de la partie a).
\[ 4A = 8x^{2} + 16x - 28 \]
Résultat :
\[ A + A + A + A = 8x^{2} + 16x - 28 \]
Étape 1 : Calculer \(C + D\).
\[ C + D = \left(5x^{3} + 2x - \dfrac{1}{2}\right) + \left(2x^{3} - x^{2} + 3x + 4\right) \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires.
\[ C + D = (5x^{3} + 2x^{3}) - x^{2} + (2x + 3x) + \left(-\dfrac{1}{2} + 4\right) \]
Étape 3 : Effectuer les opérations.
\[ C + D = 7x^{3} - x^{2} + 5x + \dfrac{7}{2} \]
Étape 4 : Multiplier chaque terme par \(3\).
\[ 3(C + D) = 3 \times \left(7x^{3} - x^{2} + 5x + \dfrac{7}{2}\right) = 21x^{3} - 3x^{2} + 15x + \dfrac{21}{2} \]
Résultat :
\[ 3(C + D) = 21x^{3} - 3x^{2} + 15x + \dfrac{21}{2} \]
Étape 1 : Additionner cinq fois le polynôme \(B\).
\[ B + B + B + B + B = 5B \]
Étape 2 : Utiliser le résultat de la partie c).
\[ 5B = -15x + 25 \]
Résultat :
\[ B + B + B + B + B = -15x + 25 \]
Étape 1 : Calculer \(3C\) et \(3D\).
\[ 3C = 15x^{3} + 6x - \dfrac{3}{2} \\ 3D = 6x^{3} - 3x^{2} + 9x + 12 \]
Étape 2 : Soustraire \(3D\) de \(3C\).
\[ 3C - 3D = (15x^{3} + 6x - \dfrac{3}{2}) - (6x^{3} - 3x^{2} + 9x + 12) \]
Étape 3 : Distribuer le signe moins.
\[ 3C - 3D = 15x^{3} + 6x - \dfrac{3}{2} - 6x^{3} + 3x^{2} - 9x - 12 \]
Étape 4 : Regrouper les termes similaires.
\[ 3C - 3D = (15x^{3} - 6x^{3}) + 3x^{2} + (6x - 9x) + \left(-\dfrac{3}{2} - 12\right) \]
Étape 5 : Effectuer les opérations.
\[ 3C - 3D = 9x^{3} + 3x^{2} - 3x - \dfrac{27}{2} \]
Résultat :
\[ 3C - 3D = 9x^{3} + 3x^{2} - 3x - \dfrac{27}{2} \]