Question : On considère les quatre expressions suivantes :
\[ P = x + 5 \\ Q = 2x + 3 \\ R = x^{2} + 4 \\ S = 4x - 2 \]
Calculez :
Les exercices de a à p ont été corrigés en combinant et simplifiant les expressions \(P\), \(Q\), \(R\) et \(S\). Chaque opération a été détaillée étape par étape, aboutissant aux résultats finaux pour chaque partie.
On considère les expressions suivantes :
\[ P = x + 5 \\ Q = 2x + 3 \\ R = x^{2} + 4 \\ S = 4x - 2 \]
Nous allons calculer les différentes combinaisons demandées de a) à p).
Étape 1 : Remplacer les expressions de \(P\) et \(Q\) \[ P + Q = (x + 5) + (2x + 3) \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires \[ x + 2x = 3x \\ 5 + 3 = 8 \]
Étape 3 : Écrire la somme totale \[ P + Q = 3x + 8 \]
Étape 1 : Remplacer les expressions de \(Q\) et \(S\) \[ Q + S = (2x + 3) + (4x - 2) \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires \[ 2x + 4x = 6x \\ 3 - 2 = 1 \]
Étape 3 : Écrire la somme totale \[ Q + S = 6x + 1 \]
Étape 1 : Remplacer les expressions de \(P\) et \(S\) \[ P \cdot S = (x + 5)(4x - 2) \]
Étape 2 : Développer les parenthèses \[ x \cdot 4x = 4x^{2} \\ x \cdot (-2) = -2x \\ 5 \cdot 4x = 20x \\ 5 \cdot (-2) = -10 \]
Étape 3 : Ajouter les termes obtenus \[ 4x^{2} - 2x + 20x - 10 = 4x^{2} + 18x - 10 \]
Résultat final \[ P \cdot S = 4x^{2} + 18x - 10 \]
Étape 1 : Calculer \(Q + R\) \[ Q + R = (2x + 3) + (x^{2} + 4) = x^{2} + 2x + 7 \]
Étape 2 : Remplacer dans \(P(Q + R)\) \[ P(Q + R) = (x + 5)(x^{2} + 2x + 7) \]
Étape 3 : Développer les parenthèses \[ x \cdot x^{2} = x^{3} \\ x \cdot 2x = 2x^{2} \\ x \cdot 7 = 7x \\ 5 \cdot x^{2} = 5x^{2} \\ 5 \cdot 2x = 10x \\ 5 \cdot 7 = 35 \]
Étape 4 : Ajouter les termes obtenus \[ x^{3} + 2x^{2} + 7x + 5x^{2} + 10x + 35 = x^{3} + 7x^{2} + 17x + 35 \]
Résultat final \[ P(Q + R) = x^{3} + 7x^{2} + 17x + 35 \]
Étape 1 : Calculer \(P + Q\) \[ P + Q = 3x + 8 \]
Étape 2 : Mettre au carré l’expression obtenue \[ (3x + 8)^{2} = (3x)^{2} + 2 \cdot 3x \cdot 8 + 8^{2} \]
Étape 3 : Calculer chaque terme \[ (3x)^{2} = 9x^{2} \\ 2 \cdot 3x \cdot 8 = 48x \\ 8^{2} = 64 \]
Étape 4 : Additionner les termes \[ 9x^{2} + 48x + 64 \]
Résultat final \[ (P + Q)^{2} = 9x^{2} + 48x + 64 \]
Étape 1 : Remplacer les expressions de \(P\) et \(R\) \[ P + R = (x + 5) + (x^{2} + 4) \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires \[ x + x^{2} = x^{2} + x \\ 5 + 4 = 9 \]
Étape 3 : Écrire la somme totale \[ P + R = x^{2} + x + 9 \]
Étape 1 : Remplacer les expressions de \(R\) et \(S\) \[ R + S = (x^{2} + 4) + (4x - 2) \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires \[ x^{2} + 4x + 4 - 2 = x^{2} + 4x + 2 \]
Résultat final \[ R + S = x^{2} + 4x + 2 \]
Étape 1 : Calculer \(P Q\) \[ P Q = (x + 5)(2x + 3) \\ = x \cdot 2x + x \cdot 3 + 5 \cdot 2x + 5 \cdot 3 \\ = 2x^{2} + 3x + 10x + 15 \\ = 2x^{2} + 13x + 15 \]
Étape 2 : Calculer \(P R\) \[ P R = (x + 5)(x^{2} + 4) \\ = x \cdot x^{2} + x \cdot 4 + 5 \cdot x^{2} + 5 \cdot 4 \\ = x^{3} + 4x + 5x^{2} + 20 \\ = x^{3} + 5x^{2} + 4x + 20 \]
Étape 3 : Additionner \(P Q + P R\) \[ (2x^{2} + 13x + 15) + (x^{3} + 5x^{2} + 4x + 20) \\ = x^{3} + (2x^{2} + 5x^{2}) + (13x + 4x) + (15 + 20) \\ = x^{3} + 7x^{2} + 17x + 35 \]
Résultat final \[ P Q + P R = x^{3} + 7x^{2} + 17x + 35 \]
Étape 1 : Calculer \(P^{2}\) \[ P^{2} = (x + 5)^{2} = x^{2} + 10x + 25 \]
Étape 2 : Calculer \(2 P Q\) \[ 2 P Q = 2(x + 5)(2x + 3) \\ = 2(2x^{2} + 3x + 10x + 15) \\ = 2(2x^{2} + 13x + 15) \\ = 4x^{2} + 26x + 30 \]
Étape 3 : Calculer \(Q^{2}\) \[ Q^{2} = (2x + 3)^{2} = 4x^{2} + 12x + 9 \]
Étape 4 : Additionner les trois expressions \[ (x^{2} + 10x + 25) + (4x^{2} + 26x + 30) + (4x^{2} + 12x + 9) \\ = (1x^{2} + 4x^{2} + 4x^{2}) + (10x + 26x + 12x) + (25 + 30 + 9) \\ = 9x^{2} + 48x + 64 \]
Résultat final \[ P^{2} + 2 P Q + Q^{2} = 9x^{2} + 48x + 64 \]
Étape 1 : Remplacer les expressions de \(P\) et \(S\) \[ P + S = (x + 5) + (4x - 2) \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires \[ x + 4x = 5x \\ 5 - 2 = 3 \]
Résultat final \[ P + S = 5x + 3 \]
Étape 1 : Remplacer les expressions de \(P\) et \(Q\) \[ P Q = (x + 5)(2x + 3) \]
Étape 2 : Développer les parenthèses \[ x \cdot 2x = 2x^{2} \\ x \cdot 3 = 3x \\ 5 \cdot 2x = 10x \\ 5 \cdot 3 = 15 \]
Étape 3 : Additionner les termes obtenus \[ 2x^{2} + 3x + 10x + 15 = 2x^{2} + 13x + 15 \]
Résultat final \[ P Q = 2x^{2} + 13x + 15 \]
Étape 1 : Remplacer les expressions de \(Q\) et \(S\) \[ Q S = (2x + 3)(4x - 2) \]
Étape 2 : Développer les parenthèses \[ 2x \cdot 4x = 8x^{2} \\ 2x \cdot (-2) = -4x \\ 3 \cdot 4x = 12x \\ 3 \cdot (-2) = -6 \]
Étape 3 : Additionner les termes obtenus \[ 8x^{2} - 4x + 12x - 6 = 8x^{2} + 8x - 6 \]
Résultat final \[ Q S = 8x^{2} + 8x - 6 \]
Étape 1 : Calculer \(P + Q + R\) \[ P + Q + R = (x + 5) + (2x + 3) + (x^{2} + 4) \\ = x + 2x + x^{2} + 5 + 3 + 4 \\ = x^{2} + 3x + 12 \]
Étape 2 : Remplacer dans \(S(P + Q + R)\) \[ S(P + Q + R) = (4x - 2)(x^{2} + 3x + 12) \]
Étape 3 : Développer les parenthèses \[ 4x \cdot x^{2} = 4x^{3} \\ 4x \cdot 3x = 12x^{2} \\ 4x \cdot 12 = 48x \\ -2 \cdot x^{2} = -2x^{2} \\ -2 \cdot 3x = -6x \\ -2 \cdot 12 = -24 \]
Étape 4 : Additionner les termes obtenus \[ 4x^{3} + 12x^{2} + 48x - 2x^{2} - 6x - 24 \\ = 4x^{3} + (12x^{2} - 2x^{2}) + (48x - 6x) - 24 \\ = 4x^{3} + 10x^{2} + 42x - 24 \]
Résultat final \[ S(P + Q + R) = 4x^{3} + 10x^{2} + 42x - 24 \]
Étape 1 : Remplacer les expressions de \(Q\) et \(R\) \[ Q + R = (2x + 3) + (x^{2} + 4) \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires \[ x^{2} + 2x + 3 + 4 = x^{2} + 2x + 7 \]
Résultat final \[ Q + R = x^{2} + 2x + 7 \]
Étape 1 : Remplacer les expressions de \(P\) et \(R\) \[ P R = (x + 5)(x^{2} + 4) \]
Étape 2 : Développer les parenthèses \[ x \cdot x^{2} = x^{3} \\ x \cdot 4 = 4x \\ 5 \cdot x^{2} = 5x^{2} \\ 5 \cdot 4 = 20 \]
Étape 3 : Additionner les termes obtenus \[ x^{3} + 4x + 5x^{2} + 20 = x^{3} + 5x^{2} + 4x + 20 \]
Résultat final \[ P R = x^{3} + 5x^{2} + 4x + 20 \]
Étape 1 : Remplacer les expressions de \(R\) et \(S\) \[ R S = (x^{2} + 4)(4x - 2) \]
Étape 2 : Développer les parenthèses \[ x^{2} \cdot 4x = 4x^{3} \\ x^{2} \cdot (-2) = -2x^{2} \\ 4 \cdot 4x = 16x \\ 4 \cdot (-2) = -8 \]
Étape 3 : Additionner les termes obtenus \[ 4x^{3} - 2x^{2} + 16x - 8 \]
Résultat final \[ R S = 4x^{3} - 2x^{2} + 16x - 8 \]
Ces corrections détaillées permettent de comprendre chaque étape nécessaire pour effectuer les calculs demandés. N’hésitez pas à poser des questions si certains points restent flous !