Question : Considérez les six polynômes suivants :
\[ P = 3x + 5 \] \[ Q = 2x^{2} - 4x \] \[ R = -2x^{3} + x^{2} \] \[ S = x^{3} + 3x^{2} - x + 4 \] \[ T = 5x^{2} - 2x^{3} + 3x - 1 \] \[ U = 2x^{2} - 3x + 2 \]
Effectuez et réduisez les expressions suivantes :
\(P - R = 2x^{3} - x^{2} + 3x + 5\)
\(P + U = 2x^{2} + 7\)
\(Q + T = -2x^{3} + 7x^{2} - x - 1\)
\(R - Q + U = -2x^{3} + x^{2} + x + 2\)
\(U - S = -x^{3} - x^{2} - 2x - 2\)
\(R + U = -2x^{3} + 3x^{2} - 3x + 2\)
Bien sûr, je vais vous fournir des corrections détaillées pour chacune des expressions demandées. Nous allons manipuler les polynômes en effectuant des opérations d’addition et de soustraction, puis en simplifiant les résultats en combinant les termes similaires.
Polynômes donnés :
\[ \begin{align*} P &= 3x + 5 \\ Q &= 2x^{2} - 4x \\ R &= -2x^{3} + x^{2} \\ S &= x^{3} + 3x^{2} - x + 4 \\ T &= 5x^{2} - 2x^{3} + 3x - 1 \\ U &= 2x^{2} - 3x + 2 \\ \end{align*} \]
Étapes :
Écrire les polynômes : \[ \begin{align*} P &= 3x + 5 \\ R &= -2x^{3} + x^{2} \\ \end{align*} \]
Effectuer la soustraction \(P - R\) : \[ P - R = (3x + 5) - (-2x^{3} + x^{2}) \]
Distribuer le signe négatif : \[ P - R = 3x + 5 + 2x^{3} - x^{2} \]
Réorganiser les termes par ordre décroissant des puissances de \(x\) : \[ P - R = 2x^{3} - x^{2} + 3x + 5 \]
Réponse finale : \[ P - R = 2x^{3} - x^{2} + 3x + 5 \]
Étapes :
Écrire les polynômes : \[ \begin{align*} P &= 3x + 5 \\ U &= 2x^{2} - 3x + 2 \\ \end{align*} \]
Effectuer l’addition \(P + U\) : \[ P + U = (3x + 5) + (2x^{2} - 3x + 2) \]
Réorganiser les termes par ordre décroissant des puissances de \(x\) : \[ P + U = 2x^{2} + 3x - 3x + 5 + 2 \]
Combiner les termes similaires : \[ 3x - 3x = 0 \quad \text{et} \quad 5 + 2 = 7 \] Donc, \[ P + U = 2x^{2} + 7 \]
Réponse finale : \[ P + U = 2x^{2} + 7 \]
Étapes :
Écrire les polynômes : \[ \begin{align*} Q &= 2x^{2} - 4x \\ T &= 5x^{2} - 2x^{3} + 3x - 1 \\ \end{align*} \]
Effectuer l’addition \(Q + T\) : \[ Q + T = (2x^{2} - 4x) + (5x^{2} - 2x^{3} + 3x - 1) \]
Réorganiser les termes par ordre décroissant des puissances de \(x\) : \[ Q + T = -2x^{3} + 2x^{2} + 5x^{2} - 4x + 3x - 1 \]
Combiner les termes similaires : \[ 2x^{2} + 5x^{2} = 7x^{2} \\ -4x + 3x = -x \] Donc, \[ Q + T = -2x^{3} + 7x^{2} - x - 1 \]
Réponse finale : \[ Q + T = -2x^{3} + 7x^{2} - x - 1 \]
Étapes :
Écrire les polynômes : \[ \begin{align*} R &= -2x^{3} + x^{2} \\ Q &= 2x^{2} - 4x \\ U &= 2x^{2} - 3x + 2 \\ \end{align*} \]
Effectuer l’opération \(R - Q + U\) : \[ R - Q + U = (-2x^{3} + x^{2}) - (2x^{2} - 4x) + (2x^{2} - 3x + 2) \]
Distribuer les signes : \[ R - Q + U = -2x^{3} + x^{2} - 2x^{2} + 4x + 2x^{2} - 3x + 2 \]
Combiner les termes similaires : \[ -2x^{3} \quad (\text{seul terme en } x^{3}) \\ x^{2} - 2x^{2} + 2x^{2} = x^{2} \\ 4x - 3x = x \\ 2 \quad (\text{terme constant}) \] Donc, \[ R - Q + U = -2x^{3} + x^{2} + x + 2 \]
Réponse finale : \[ R - Q + U = -2x^{3} + x^{2} + x + 2 \]
Étapes :
Écrire les polynômes : \[ \begin{align*} U &= 2x^{2} - 3x + 2 \\ S &= x^{3} + 3x^{2} - x + 4 \\ \end{align*} \]
Effectuer la soustraction \(U - S\) : \[ U - S = (2x^{2} - 3x + 2) - (x^{3} + 3x^{2} - x + 4) \]
Distribuer le signe négatif : \[ U - S = 2x^{2} - 3x + 2 - x^{3} - 3x^{2} + x - 4 \]
Réorganiser les termes par ordre décroissant des puissances de \(x\) : \[ U - S = -x^{3} + 2x^{2} - 3x^{2} - 3x + x + 2 - 4 \]
Combiner les termes similaires : \[ -x^{3} \quad (\text{seul terme en } x^{3}) \\ 2x^{2} - 3x^{2} = -x^{2} \\ -3x + x = -2x \\ 2 - 4 = -2 \] Donc, \[ U - S = -x^{3} - x^{2} - 2x - 2 \]
Réponse finale : \[ U - S = -x^{3} - x^{2} - 2x - 2 \]
Étapes :
Écrire les polynômes : \[ \begin{align*} R &= -2x^{3} + x^{2} \\ U &= 2x^{2} - 3x + 2 \\ \end{align*} \]
Effectuer l’addition \(R + U\) : \[ R + U = (-2x^{3} + x^{2}) + (2x^{2} - 3x + 2) \]
Réorganiser les termes par ordre décroissant des puissances de \(x\) : \[ R + U = -2x^{3} + x^{2} + 2x^{2} - 3x + 2 \]
Combiner les termes similaires : \[ -2x^{3} \quad (\text{seul terme en } x^{3}) \\ x^{2} + 2x^{2} = 3x^{2} \\ -3x \quad (\text{seul terme en } x) \\ 2 \quad (\text{terme constant}) \] Donc, \[ R + U = -2x^{3} + 3x^{2} - 3x + 2 \]
Réponse finale : \[ R + U = -2x^{3} + 3x^{2} - 3x + 2 \]
Ces corrections détaillées devraient vous aider à comprendre comment effectuer et simplifier chaque opération sur les polynômes donnés !