Exercice 64

Question : Voici six polynômes :

\[ G = 3x + 5 \] \[ H = -2 + 4x \] \[ I = 7x - 3{,}5 \] \[ J = 8 - x \] \[ K = -5x + 2 \] \[ L = 6x - 4 \]

Effectue et réduis les expressions suivantes :

1. \(G + K\)
2. \(H - L\)
3. \(J + I\)
4. \(I - J + K\)
5. \(L + G\)
6. \(H + K\)

Réponse

Résultats des exercices :

1. \(G + K = -2x + 7\)
2. \(H - L = -2x + 2\)
3. \(J + I = 6x + 4,5\)
4. \(I - J + K = 3x - 9,5\)
5. \(L + G = 9x + 1\)
6. \(H + K = -x\)

Corrigé détaillé

Correction :

Nous allons effectuer et réduire chacune des expressions demandées en utilisant les polynômes donnés.

Les polynômes sont : \[ \begin{align*} G &= 3x + 5 \\ H &= -2 + 4x \\ I &= 7x - 3{,}5 \\ J &= 8 - x \\ K &= -5x + 2 \\ L &= 6x - 4 \\ \end{align*} \]

1. \(G + K\)

Étapes :

1. Écrire les deux polynômes : \[ G = 3x + 5 \] \[ K = -5x + 2 \]

2. Additionner les coefficients des termes similaires :

   • Coefficient de \(x\) : \(3x + (-5x) = (3 - 5)x = -2x\)
   • Termes constants : \(5 + 2 = 7\)

3. Écrire l’expression réduite : \[ G + K = -2x + 7 \]

Résultat : \[ G + K = -2x + 7 \]

2. \(H - L\)

Étapes :

1. Écrire les deux polynômes : \[ H = -2 + 4x \] \[ L = 6x - 4 \]

2. Soustraire les termes correspondants :

   • Coefficient de \(x\) : \(4x - 6x = (4 - 6)x = -2x\)
   • Termes constants : \(-2 - (-4) = -2 + 4 = 2\)

3. Écrire l’expression réduite : \[ H - L = -2x + 2 \]

Résultat : \[ H - L = -2x + 2 \]

3. \(J + I\)

Étapes :

1. Écrire les deux polynômes : \[ J = 8 - x \] \[ I = 7x - 3{,}5 \]

2. Additionner les termes similaires :

   • Coefficient de \(x\) : \(-x + 7x = (-1 + 7)x = 6x\)
   • Termes constants : \(8 + (-3{,}5) = 8 - 3{,}5 = 4{,}5\)

3. Écrire l’expression réduite : \[ J + I = 6x + 4{,}5 \]

Résultat : \[ J + I = 6x + 4{,}5 \]

4. \(I - J + K\)

Étapes :

1. Écrire les trois polynômes : \[ I = 7x - 3{,}5 \] \[ J = 8 - x \] \[ K = -5x + 2 \]

2. Effectuer la soustraction de \(J\) : \[ I - J = (7x - 3{,}5) - (8 - x) = 7x - 3{,}5 - 8 + x = (7x + x) + (-3{,}5 - 8) = 8x - 11{,}5 \]

3. Ajouter \(K\) à l’expression obtenue : \[ (I - J) + K = (8x - 11{,}5) + (-5x + 2) = (8x - 5x) + (-11{,}5 + 2) = 3x - 9{,}5 \]

4. Écrire l’expression réduite : \[ I - J + K = 3x - 9{,}5 \]

Résultat : \[ I - J + K = 3x - 9{,}5 \]

5. \(L + G\)

Étapes :

1. Écrire les deux polynômes : \[ L = 6x - 4 \] \[ G = 3x + 5 \]

2. Additionner les termes similaires :

   • Coefficient de \(x\) : \(6x + 3x = (6 + 3)x = 9x\)
   • Termes constants : \(-4 + 5 = 1\)

3. Écrire l’expression réduite : \[ L + G = 9x + 1 \]

Résultat : \[ L + G = 9x + 1 \]

6. \(H + K\)

Étapes :

1. Écrire les deux polynômes : \[ H = -2 + 4x \] \[ K = -5x + 2 \]

2. Additionner les termes similaires :

   • Coefficient de \(x\) : \(4x + (-5x) = (4 - 5)x = -x\)
   • Termes constants : \(-2 + 2 = 0\)

3. Écrire l’expression réduite : \[ H + K = -x \]

Résultat : \[ H + K = -x \]