Exercice 63

Question : Déterminez les polynômes opposés des polynômes suivants :

1. \(A = 7m + 4\)
2. \(B = -5x - 2\)
3. \(C = 12y + 9\)
4. \(D = 3 + z\)
5. \(E = 6k - 5\)

Réponse

Résumé :

L’opposé d’un polynôme est obtenu en changeant le signe de chaque terme. Par exemple : - \(-A = -7m - 4\) - \(-B = 5x + 2\) - \(-C = -12y - 9\) - \(-D = -z - 3\) - \(-E = -6k + 5\)

Ainsi, l’addition d’un polynôme et de son opposé donne le polynôme nul.

Corrigé détaillé

Pour déterminer les polynômes opposés des polynômes donnés, il suffit de changer le signe de chaque terme du polynôme initial. L’opposé d’un polynôme \(P\) est noté \(-P\) et est obtenu en multipliant chaque coefficient par \(-1\). Voici comment procéder pour chaque polynôme :

1. Polynôme \(A = 7m + 4\)

Étapes : 1. Identifions les termes de \(A\): - \(7m\) - \(+4\) 2. Changeons le signe de chaque terme : - \(-7m\) - \(-4\) 3. Ainsi, l’opposé de \(A\) est : \[ -A = -7m - 4 \]

2. Polynôme \(B = -5x - 2\)

Étapes : 1. Identifions les termes de \(B\): - \(-5x\) - \(-2\) 2. Changeons le signe de chaque terme : - \(+5x\) - \(+2\) 3. Ainsi, l’opposé de \(B\) est : \[ -B = 5x + 2 \]

3. Polynôme \(C = 12y + 9\)

Étapes : 1. Identifions les termes de \(C\): - \(12y\) - \(+9\) 2. Changeons le signe de chaque terme : - \(-12y\) - \(-9\) 3. Ainsi, l’opposé de \(C\) est : \[ -C = -12y - 9 \]

4. Polynôme \(D = 3 + z\)

Étapes : 1. Identifions les termes de \(D\): - \(z\) - \(+3\) 2. Changeons le signe de chaque terme : - \(-z\) - \(-3\) 3. Ainsi, l’opposé de \(D\) est : \[ -D = -z - 3 \]

5. Polynôme \(E = 6k - 5\)

Étapes : 1. Identifions les termes de \(E\): - \(6k\) - \(-5\) 2. Changeons le signe de chaque terme : - \(-6k\) - \(+5\) 3. Ainsi, l’opposé de \(E\) est : \[ -E = -6k + 5 \]

Résumé : Pour chaque polynôme, l’opposé est obtenu en inversant le signe de chacun de ses termes. Cela permet de trouver un polynôme qui, ajouté au polynôme initial, donne le polynôme nul.