Exercice 62

Question : Voici deux expressions littérales :

1. \((12x + 9) + (18x - 7)\)
2. \((21x + 10) - (11x - 4)\)

1. Calcule la valeur numérique des deux expressions littérales pour \(x = 3\).

2. Réduis ces deux expressions littérales, puis calcule leur valeur numérique pour \(x = 3\) ; le résultat obtenu est-il égal à celui que tu as trouvé sous a) ?

3. Sur la base de tes observations, établis une règle permettant d’additionner et de soustraire des polynômes.

Réponse

Résumé de la correction :

1. Pour \(x = 3\) :
   • Première expression : \(92\)
   • Deuxième expression : \(44\)
2. Réduction des expressions :
   • \((12x + 9) + (18x - 7) = 30x + 2\) ⇒ \(92\)
   • \((21x + 10) - (11x - 4) = 10x + 14\) ⇒ \(44\)
3. Règle générale :
   • Addition/Soustraction des polynômes : Regrouper les termes semblables et simplifier en additionnant ou soustrayant les coefficients.

Corrigé détaillé

Correction

Nous allons répondre aux différentes parties de l’exercice étape par étape.

Partie a) Calcul des valeurs numériques pour \(x = 3\)

Nous devons calculer la valeur des deux expressions littérales lorsqu’on remplace \(x\) par 3.

1. Première expression : \((12x + 9) + (18x - 7)\)

Remplaçons \(x\) par 3 :

\[ \begin{align*} (12x + 9) + (18x - 7) &= (12 \times 3 + 9) + (18 \times 3 - 7) \\ &= (36 + 9) + (54 - 7) \\ &= 45 + 47 \\ &= 92 \end{align*} \]

La valeur de la première expression pour \(x = 3\) est 92.

2. Deuxième expression : \((21x + 10) - (11x - 4)\)

Remplaçons \(x\) par 3 :

\[ \begin{align*} (21x + 10) - (11x - 4) &= (21 \times 3 + 10) - (11 \times 3 - 4) \\ &= (63 + 10) - (33 - 4) \\ &= 73 - 29 \\ &= 44 \end{align*} \]

La valeur de la deuxième expression pour \(x = 3\) est 44.

Partie b) Réduction des expressions littérales puis calcul pour \(x = 3\)

Il s’agit de simplifier les expressions en regroupant les termes semblables avant de remplacer \(x\) par 3.

1. Première expression : \((12x + 9) + (18x - 7)\)

Simplifions en regroupant les termes en \(x\) et les constantes :

\[ \begin{align*} (12x + 9) + (18x - 7) &= 12x + 18x + 9 - 7 \\ &= (12 + 18)x + (9 - 7) \\ &= 30x + 2 \end{align*} \]

Maintenant, calculons la valeur pour \(x = 3\) :

\[ 30x + 2 = 30 \times 3 + 2 = 90 + 2 = 92 \]

2. Deuxième expression : \((21x + 10) - (11x - 4)\)

Simplifions en regroupant les termes en \(x\) et les constantes :

\[ \begin{align*} (21x + 10) - (11x - 4) &= 21x - 11x + 10 - (-4) \\ &= (21 - 11)x + (10 + 4) \\ &= 10x + 14 \end{align*} \]

Maintenant, calculons la valeur pour \(x = 3\) :

\[ 10x + 14 = 10 \times 3 + 14 = 30 + 14 = 44 \]

Comparaison des résultats

Les valeurs obtenues après réduction sont :

• Première expression : 92
• Deuxième expression : 44

Ces valeurs sont identiques à celles trouvées dans la partie a). Cela confirme que réduire les expressions avant de substituer \(x = 3\) donne le même résultat que substituer directement sans réduire.

Partie c) Établissement d’une règle pour additionner et soustraire des polynômes

À partir des observations précédentes, nous pouvons établir la règle suivante :

Pour additionner ou soustraire des polynômes (expressions littérales), on suit ces étapes :

1. Regrouper les termes semblables :
   • Les termes contenant la même variable élevée au même exposant sont additionnés ou soustraits entre eux.
   • Les constantes (termes sans variables) sont également additionnées ou soustraites.
2. Effectuer les opérations :
   • Additionnez ou soustrayez les coefficients des termes semblables.
   • Simplifiez les résultats pour obtenir un polynôme réduit.

Exemple :

Pour additionner \((a x + b) + (c x + d)\) :

\[ (a x + b) + (c x + d) = (a + c) x + (b + d) \]

Pour soustraire \((e x + f) - (g x + h)\) :

\[ (e x + f) - (g x + h) = (e - g) x + (f - h) \]

Cette méthode permet de simplifier les expressions littérales de manière systématique et d’obtenir des résultats corrects.