Question : Développe puis réduis chaque expression.
\[\mathrm{H} = (5 - 2x)(2x + 5)\] \[\mathrm{I} = (6 + 3x)(3x - 6)\] \[\mathrm{J} = (2x - 1)^{2} - (4x + 3)^{2}\]
Résumé de la correction :
Nous allons développer et réduire chacune des expressions données étape par étape.
\[\mathrm{H} = (5 - 2x)(2x + 5)\]
Pour développer le produit de deux binômes, nous utilisons la méthode distributive (chaque terme du premier binôme multiplie chaque terme du second binôme).
\[ (5 - 2x)(2x + 5) = 5 \times 2x + 5 \times 5 + (-2x) \times 2x + (-2x) \times 5 \]
Calculons chaque terme :
\[ 5 \times 2x = 10x \] \[ 5 \times 5 = 25 \] \[ -2x \times 2x = -4x^2 \] \[ -2x \times 5 = -10x \]
\[ 10x + 25 - 4x^2 - 10x \]
Regroupons les termes similaires :
\[ -4x^2 + (10x - 10x) + 25 = -4x^2 + 0x + 25 \]
Simplifions :
\[ -4x^2 + 25 \]
\[ \mathrm{H} = -4x^2 + 25 \]
\[\mathrm{I} = (6 + 3x)(3x - 6)\]
Utilisons la méthode distributive pour développer le produit des deux binômes :
\[ (6 + 3x)(3x - 6) = 6 \times 3x + 6 \times (-6) + 3x \times 3x + 3x \times (-6) \]
Calculons chaque terme :
\[ 6 \times 3x = 18x \] \[ 6 \times (-6) = -36 \] \[ 3x \times 3x = 9x^2 \] \[ 3x \times (-6) = -18x \]
\[ 18x - 36 + 9x^2 - 18x \]
Regroupons les termes similaires :
\[ 9x^2 + (18x - 18x) - 36 = 9x^2 + 0x - 36 \]
Simplifions :
\[ 9x^2 - 36 \]
\[ \mathrm{I} = 9x^2 - 36 \]
\[\mathrm{J} = (2x - 1)^{2} - (4x + 3)^{2}\]
Pour développer un binôme au carré, on utilise la formule :
\[ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \]
Appliquons cette formule aux deux termes.
\[ (2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1 \]
\[ (4x + 3)^2 = (4x)^2 + 2 \times 4x \times 3 + 3^2 = 16x^2 + 24x + 9 \]
\[ \mathrm{J} = (4x^2 - 4x + 1) - (16x^2 + 24x + 9) \]
\[ 4x^2 - 4x + 1 - 16x^2 - 24x - 9 \]
Regroupons les termes similaires :
\[ (4x^2 - 16x^2) + (-4x - 24x) + (1 - 9) = -12x^2 - 28x - 8 \]
\[ \mathrm{J} = -12x^2 - 28x - 8 \]
Voilà les développements et réductions des expressions H, I et J. Assure-toi de bien suivre chaque étape pour mieux comprendre le processus de développement et de réduction des expressions algébriques.