Question : Développe puis réduis chaque expression.
\[ \mathrm{S}=(3 a + 2)^{2} \]
\[ T=5 + (4 b - 1)(2 - 3 b) \]
\[ \mathrm{U}=7 b - (3 b + 4)(-b - 6) \]
\[ \mathrm{V}=8( x + 2)(4 - x) \]
S.
\[
S = (3a + 2)^2 = 9a^2 + 12a + 4
\]
T.
\[
T = 5 + (4b - 1)(2 - 3b) = -12b^2 + 11b + 3
\]
U.
\[
U = 7b - (3b + 4)(-b - 6) = 3b^2 + 29b + 24
\]
V.
\[
V = 8(x + 2)(4 - x) = -8x^2 + 16x + 64
\]
Étape 1 : Développer le carré d’un binôme
Utilisons la formule suivante pour développer un binôme au carré : \[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \]
Ici, \(x = 3a\) et \(y = 2\). Appliquons la formule : \[ (3a + 2)^2 = (3a)^2 + 2 \times 3a \times 2 + (2)^2 \]
Étape 2 : Calcul des termes
Calculons chaque terme séparément : \[ (3a)^2 = 9a^2 \] \[ 2 \times 3a \times 2 = 12a \] \[ (2)^2 = 4 \]
Étape 3 : Réduire l’expression
En assemblant tous les termes, on obtient : \[ \mathrm{S} = 9a^2 + 12a + 4 \]
Étape 1 : Développer le produit de deux binômes
Appliquons la distributivité pour développer \((4b - 1)(2 - 3b)\) : \[ (4b - 1)(2 - 3b) = 4b \times 2 + 4b \times (-3b) - 1 \times 2 - 1 \times (-3b) \]
Étape 2 : Calcul des termes
Calculons chaque produit : \[ 4b \times 2 = 8b \] \[ 4b \times (-3b) = -12b^2 \] \[ -1 \times 2 = -2 \] \[ -1 \times (-3b) = 3b \]
Étape 3 : Assembler les termes développés
On combine tous les termes : \[ 8b - 12b^2 - 2 + 3b = -12b^2 + 11b - 2 \]
Étape 4 : Ajouter le terme constant
Ajoutons le 5 initial : \[ T = 5 + (-12b^2 + 11b - 2) = -12b^2 + 11b + 3 \]
Étape 1 : Développer le produit de deux binômes
Développons \((3b + 4)(-b - 6)\) en appliquant la distributivité : \[ (3b + 4)(-b - 6) = 3b \times (-b) + 3b \times (-6) + 4 \times (-b) + 4 \times (-6) \]
Étape 2 : Calcul des termes
Calculons chaque produit : \[ 3b \times (-b) = -3b^2 \] \[ 3b \times (-6) = -18b \] \[ 4 \times (-b) = -4b \] \[ 4 \times (-6) = -24 \]
Étape 3 : Assembler les termes développés
On combine tous les termes : \[ -3b^2 - 18b - 4b - 24 = -3b^2 - 22b - 24 \]
Étape 4 : Appliquer la soustraction initiale
Remplaçons dans l’expression de \(\mathrm{U}\) : \[ \mathrm{U} = 7b - (-3b^2 - 22b - 24) = 7b + 3b^2 + 22b + 24 \]
Étape 5 : Réduire l’expression
En regroupant les termes semblables : \[ \mathrm{U} = 3b^2 + 29b + 24 \]
Étape 1 : Développer le produit de deux binômes
Développons \((x + 2)(4 - x)\) en utilisant la distributivité : \[ (x + 2)(4 - x) = x \times 4 + x \times (-x) + 2 \times 4 + 2 \times (-x) \]
Étape 2 : Calcul des termes
Calculons chaque produit : \[ x \times 4 = 4x \] \[ x \times (-x) = -x^2 \] \[ 2 \times 4 = 8 \] \[ 2 \times (-x) = -2x \]
Étape 3 : Assembler les termes développés
On combine tous les termes : \[ 4x - x^2 + 8 - 2x = -x^2 + 2x + 8 \]
Étape 4 : Multiplier par 8
Multiplions l’expression développée par 8 : \[ \mathrm{V} = 8(-x^2 + 2x + 8) = -8x^2 + 16x + 64 \]
Étape 5 : Réduire l’expression
L’expression est déjà réduite : \[ \mathrm{V} = -8x^2 + 16x + 64 \]