Exercice 55

Question : Développe et réduis chaque expression.

1. \(A = 4(a + 2) + 3(2a + 5) - (4a - 2)\)

2. \[ B = -2b(3 + 4b) - 5(2 - 3b) + (4b^2 - 6b + 2) \]

3. \(C = (3x - 2)(2x + 6) - (2x - 5)\)

4. \(D = (x + 4)(3x - 4) - (2x^2 - 5x + 4)\)

Réponse

Résumé des solutions réduites :

1. \(A = 6a + 25\)
2. \(B = -4b^2 + 3b - 8\)
3. \(C = 6x^2 + 12x - 7\)
4. \(D = x^2 + 13x - 20\)

Corrigé détaillé

Correction des Exercices

Question : Développe et réduis chaque expression.

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1. \(A = 4(a + 2) + 3(2a + 5) - (4a - 2)\)

Étape 1 : Développer les parenthèses

• Multiplions chaque terme à l’intérieur des parenthèses par le facteur qui les précède.

\[ \begin{align*} 4(a + 2) &= 4 \times a + 4 \times 2 = 4a + 8 \\ 3(2a + 5) &= 3 \times 2a + 3 \times 5 = 6a + 15 \\ -(4a - 2) &= -1 \times 4a + (-1) \times (-2) = -4a + 2 \\ \end{align*} \]

Étape 2 : Réécrire l’expression développée

\[ A = 4a + 8 + 6a + 15 - 4a + 2 \]

Étape 3 : Regrouper les termes similaires

• Regroupons d’abord les termes en \(a\) :

\[ 4a + 6a - 4a = (4 + 6 - 4)a = 6a \]

• Puis les constantes :

\[ 8 + 15 + 2 = 25 \]

Étape 4 : Écrire l’expression réduite

\[ A = 6a + 25 \]

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2.

\[ B = -2b(3 + 4b) - 5(2 - 3b) + (4b^2 - 6b + 2) \]

Étape 1 : Développer les parenthèses

\[ \begin{align*} -2b(3 + 4b) &= -2b \times 3 + (-2b) \times 4b = -6b - 8b^2 \\ -5(2 - 3b) &= -5 \times 2 + (-5) \times (-3b) = -10 + 15b \\ \end{align*} \]

Étape 2 : Réécrire l’expression développée

\[ B = -8b^2 - 6b - 10 + 15b + 4b^2 - 6b + 2 \]

Étape 3 : Regrouper les termes similaires

• Terme en \(b^2\) :

\[ -8b^2 + 4b^2 = -4b^2 \]

• Terme en \(b\) :

\[ -6b + 15b - 6b = 3b \]

• Constantes :

\[ -10 + 2 = -8 \]

Étape 4 : Écrire l’expression réduite

\[ B = -4b^2 + 3b - 8 \]

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3. \(C = (3x - 2)(2x + 6) - (2x - 5)\)

Étape 1 : Développer le produit des binômes

Utilisons la méthode distributive (aussi connue sous le nom de FOIL pour les binômes).

\[ \begin{align*} (3x - 2)(2x + 6) &= 3x \times 2x + 3x \times 6 - 2 \times 2x - 2 \times 6 \\ &= 6x^2 + 18x - 4x - 12 \\ &= 6x^2 + 14x - 12 \end{align*} \]

Étape 2 : Développer la parenthèse restante

\[ -(2x - 5) = -2x + 5 \]

Étape 3 : Réécrire l’expression développée

\[ C = 6x^2 + 14x - 12 - 2x + 5 \]

Étape 4 : Regrouper les termes similaires

• Terme en \(x^2\) :

\[ 6x^2 \]

• Terme en \(x\) :

\[ 14x - 2x = 12x \]

• Constantes :

\[ -12 + 5 = -7 \]

Étape 5 : Écrire l’expression réduite

\[ C = 6x^2 + 12x - 7 \]

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4. \(D = (x + 4)(3x - 4) - (2x^2 - 5x + 4)\)

Étape 1 : Développer le produit des binômes

\[ \begin{align*} (x + 4)(3x - 4) &= x \times 3x + x \times (-4) + 4 \times 3x + 4 \times (-4) \\ &= 3x^2 - 4x + 12x - 16 \\ &= 3x^2 + 8x - 16 \end{align*} \]

Étape 2 : Développer la parenthèse restante

\[ -(2x^2 - 5x + 4) = -2x^2 + 5x - 4 \]

Étape 3 : Réécrire l’expression développée

\[ D = 3x^2 + 8x - 16 - 2x^2 + 5x - 4 \]

Étape 4 : Regrouper les termes similaires

• Terme en \(x^2\) :

\[ 3x^2 - 2x^2 = x^2 \]

• Terme en \(x\) :

\[ 8x + 5x = 13x \]

• Constantes :

\[ -16 - 4 = -20 \]

Étape 5 : Écrire l’expression réduite

\[ D = x^2 + 13x - 20 \]

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Résumé des Solutions Réduites

1. \(A = 6a + 25\)

2. \(B = -4b^2 + 3b - 8\)

3. \(C = 6x^2 + 12x - 7\)

4. \(D = x^2 + 13x - 20\)