Exercice 48

Considérons les polynômes suivants :

1. \(X = a^{2} - 3ab\)
2. \(Y = a^{2} + 3ab\)
3. \(Z = a^{4} + 9a^{2}b^{2}\)

Formez les polynômes suivants :

1. \(X^{2} - 2X^{2} + Y^{2}\)
2. \(XY - Z\)
3. \(\frac{1}{4}\left( (X + Y)^{2} - (X - Y)^{2} \right)\)

Réponse

Résumé des résultats :

1. \(X^{2} - 2X^{2} + Y^{2} = 12a^{3}b\)
2. \(XY - Z = -18a^{2}b^{2}\)
3. \(\frac{1}{4}\left( (X + Y)^{2} - (X - Y)^{2} \right) = a^{4} - 9a^{2}b^{2}\)

Corrigé détaillé

Correction des Exercices sur les Polynômes

Nous allons résoudre les différentes expressions demandées en suivant une démarche étape par étape. Chaque partie sera traitée séparément pour une meilleure compréhension.

1. Calcul de \(X^{2} - 2X^{2} + Y^{2}\)

Étape 1 : Simplification de l’expression

Commençons par simplifier l’expression donnée : \[ X^{2} - 2X^{2} + Y^{2} = -X^{2} + Y^{2} \]

Étape 2 : Calcul de \(X^{2}\) et \(Y^{2}\)

Calcul de \(X^{2}\) \[ X = a^{2} - 3ab \] \[ X^{2} = (a^{2} - 3ab)^{2} \] Développons ce carré : \[ X^{2} = a^{4} - 2 \cdot a^{2} \cdot 3ab + (3ab)^{2} \] \[ X^{2} = a^{4} - 6a^{3}b + 9a^{2}b^{2} \]

Calcul de \(Y^{2}\) \[ Y = a^{2} + 3ab \] \[ Y^{2} = (a^{2} + 3ab)^{2} \] Développons ce carré : \[ Y^{2} = a^{4} + 2 \cdot a^{2} \cdot 3ab + (3ab)^{2} \] \[ Y^{2} = a^{4} + 6a^{3}b + 9a^{2}b^{2} \]

Étape 3 : Remplacement dans l’expression simplifiée

Nous avons : \[ -X^{2} + Y^{2} = - (a^{4} - 6a^{3}b + 9a^{2}b^{2}) + (a^{4} + 6a^{3}b + 9a^{2}b^{2}) \] Distribuons le signe négatif : \[ -X^{2} + Y^{2} = -a^{4} + 6a^{3}b - 9a^{2}b^{2} + a^{4} + 6a^{3}b + 9a^{2}b^{2} \]

Étape 4 : Simplification finale

Regroupons les termes similaires : \[ (-a^{4} + a^{4}) + (6a^{3}b + 6a^{3}b) + (-9a^{2}b^{2} + 9a^{2}b^{2}) = 0 + 12a^{3}b + 0 \] \[ X^{2} - 2X^{2} + Y^{2} = 12a^{3}b \]

2. Calcul de \(XY - Z\)

Étape 1 : Calcul de \(XY\)

Nous avons : \[ X = a^{2} - 3ab \quad \text{et} \quad Y = a^{2} + 3ab \] Multipliant \(X\) et \(Y\) : \[ XY = (a^{2} - 3ab)(a^{2} + 3ab) \] Utilisons la formule du produit de deux binômes : \[ XY = a^{2} \cdot a^{2} + a^{2} \cdot 3ab - 3ab \cdot a^{2} - 3ab \cdot 3ab \] \[ XY = a^{4} + 3a^{3}b - 3a^{3}b - 9a^{2}b^{2} \] Les termes \(+3a^{3}b\) et \(-3a^{3}b\) s’annulent : \[ XY = a^{4} - 9a^{2}b^{2} \]

Étape 2 : Calcul de \(XY - Z\)

Nous savons que : \[ Z = a^{4} + 9a^{2}b^{2} \] Alors : \[ XY - Z = (a^{4} - 9a^{2}b^{2}) - (a^{4} + 9a^{2}b^{2}) \] Développons : \[ XY - Z = a^{4} - 9a^{2}b^{2} - a^{4} - 9a^{2}b^{2} \] Simplifions : \[ XY - Z = -18a^{2}b^{2} \]

3. Calcul de \(\frac{1}{4}\left( (X + Y)^{2} - (X - Y)^{2} \right)\)

Étape 1 : Calcul de \(X + Y\) et \(X - Y\)

Nous avons : \[ X = a^{2} - 3ab \quad \text{et} \quad Y = a^{2} + 3ab \] Calculons \(X + Y\) : \[ X + Y = (a^{2} - 3ab) + (a^{2} + 3ab) = 2a^{2} \] Calculons \(X - Y\) : \[ X - Y = (a^{2} - 3ab) - (a^{2} + 3ab) = -6ab \]

Étape 2 : Calcul de \((X + Y)^{2}\) et \((X - Y)^{2}\)

Calcul de \((X + Y)^{2}\) \[ (X + Y)^{2} = (2a^{2})^{2} = 4a^{4} \]

Calcul de \((X - Y)^{2}\) \[ (X - Y)^{2} = (-6ab)^{2} = 36a^{2}b^{2} \]

Étape 3 : Calcul de la différence des carrés

\[ (X + Y)^{2} - (X - Y)^{2} = 4a^{4} - 36a^{2}b^{2} \]

Étape 4 : Multiplication par \(\frac{1}{4}\)

\[ \frac{1}{4}\left( 4a^{4} - 36a^{2}b^{2} \right) = a^{4} - 9a^{2}b^{2} \]

Résumé des Résultats

1. \(X^{2} - 2X^{2} + Y^{2} = 12a^{3}b\)
2. \(XY - Z = -18a^{2}b^{2}\)
3. \(\frac{1}{4}\left( (X + Y)^{2} - (X - Y)^{2} \right) = a^{4} - 9a^{2}b^{2}\)