Développez l’expression \((3a - 7b) \cdot (3a + 2b - 1)\).
Développez l’expression \((-4x + 2y - z) \cdot (3x - 2y)\).
Simplifiez l’expression \(\left(-10a^{2} + 2b^{2}\right)^{2} - 4a^{4} + 3b^{4} + 7b \cdot \left(-3b^{3}\right)\).
Développez l’expression \(\left(3a^{4} - 7a^{3} + 2a - 1\right) \cdot \left(4a^{4} - 2a^{3} + a - 3\right)\).
Simplifiez l’expression \(\left(-4x^{3} - 7x^{2} + 2x\right) \cdot (-3x + 3) - 7x^{2} \cdot \left(3x^{2} - 2x - 4\right)\).
Simplifiez l’expression \((12abc - 7ab) \cdot (-4abc + 12ab) - \left(-4a^{2}b^{2}c^{2} + 12a^{2}b^{2}\right)\).
Réponses succinctes en résumé :
Nous allons corriger chacune des questions en détaillant toutes les étapes du calcul.
────────────────────────────── 1. Développez l’expression (3a – 7b) · (3a + 2b – 1).
• On commence par multiplier chaque terme du premier facteur par chaque terme du second facteur :
– 3a × 3a = 9a²
– 3a × 2b = 6ab
– 3a × (–1) = –3a
– (–7b) × 3a = –21ab
– (–7b) × 2b = –14b²
– (–7b) × (–1) = 7b
• On écrit maintenant la somme de ces produits :
9a² + 6ab – 3a – 21ab – 14b² + 7b
• On regroupe les termes semblables (les termes en ab) :
6ab – 21ab = –15ab
• La forme développée finale est :
9a² – 15ab – 3a – 14b² + 7b
────────────────────────────── 2. Développez l’expression (–4x + 2y – z) · (3x – 2y).
• Multiplions chaque terme du premier polynôme par chaque terme du second :
– (–4x) × 3x = –12x²
– (–4x) × (–2y) = +8xy
– 2y × 3x = +6xy
– 2y × (–2y) = –4y²
– (–z) × 3x = –3xz
– (–z) × (–2y) = +2yz
• Regroupons les termes semblables :
Les termes en xy : 8xy + 6xy = 14xy
• La forme développée est donc :
–12x² + 14xy – 3xz – 4y² + 2yz
────────────────────────────── 3. Simplifiez l’expression (–10a² + 2b²)² – 4a⁴ + 3b⁴ + 7b · (–3b³).
• Tout d’abord, développons le carré (–10a² + 2b²)² en utilisant la formule (A + B)² = A² + 2AB + B² :
– A = –10a² et B = 2b²
– A² = (–10a²)² = 100a⁴
– 2AB = 2 × (–10a²) × (2b²) = –40a²b²
– B² = (2b²)² = 4b⁴
Donc, (–10a² + 2b²)² = 100a⁴ – 40a²b² + 4b⁴
• On remplace dans l’expression initiale :
100a⁴ – 40a²b² + 4b⁴ – 4a⁴ + 3b⁴ + 7b · (–3b³)
• Calculons ensuite 7b × (–3b³) :
7b × (–3b³) = –21b⁴
• Regroupons maintenant les termes semblables :
Termes en a⁴ : 100a⁴ – 4a⁴ = 96a⁴
Termes en b⁴ : 4b⁴ + 3b⁴ – 21b⁴ = (7 – 21)b⁴ = –14b⁴
Le terme –40a²b² reste tel quel.
• On obtient finalement :
96a⁴ – 40a²b² – 14b⁴
────────────────────────────── 4. Développez l’expression (3a⁴ – 7a³ + 2a – 1) · (4a⁴ – 2a³ + a – 3).
Nous allons multiplier chaque terme du premier polynôme par chaque terme du second :
Multiplier 3a⁴ par chaque terme du second : • 3a⁴ × 4a⁴ =
12a⁸
• 3a⁴ × (–2a³) = –6a⁷
• 3a⁴ × a = 3a⁵
• 3a⁴ × (–3) = –9a⁴
Multiplier –7a³ par chaque terme du second : • –7a³ × 4a⁴ =
–28a⁷
• –7a³ × (–2a³) = +14a⁶
• –7a³ × a = –7a⁴
• –7a³ × (–3) = +21a³
Multiplier 2a par chaque terme du second : • 2a × 4a⁴ =
+8a⁵
• 2a × (–2a³) = –4a⁴
• 2a × a = +2a²
• 2a × (–3) = –6a
Multiplier –1 par chaque terme du second : • –1 × 4a⁴ =
–4a⁴
• –1 × (–2a³) = +2a³
• –1 × a = –a
• –1 × (–3) = +3
• Regroupons ensuite les termes ayant le même degré :
– Terme en a⁸ : 12a⁸
– Terme en a⁷ : –6a⁷ – 28a⁷ = –34a⁷
– Terme en a⁶ : +14a⁶
– Terme en a⁵ : 3a⁵ + 8a⁵ = 11a⁵
– Terme en a⁴ : –9a⁴ – 7a⁴ – 4a⁴ – 4a⁴ = –24a⁴
– Terme en a³ : +21a³ + 2a³ = 23a³
– Terme en a² : +2a²
– Terme en a : –6a – a = –7a
– Terme constant : +3
• L’expression développée finale est donc :
12a⁸ – 34a⁷ + 14a⁶ + 11a⁵ – 24a⁴ + 23a³ + 2a² – 7a + 3
────────────────────────────── 5. Simplifiez l’expression (–4x³ – 7x² + 2x) · (–3x + 3) – 7x² · (3x² – 2x – 4).
Tout d’abord, développons le premier produit :
• –4x³ × (–3x) = +12x⁴
• –4x³ × 3 = –12x³
• –7x² × (–3x) = +21x³
• –7x² × 3 = –21x²
• 2x × (–3x) = –6x²
• 2x × 3 = +6x
En regroupant, on obtient :
x⁴ : 12x⁴
x³ : –12x³ + 21x³ = 9x³
x² : –21x² – 6x² = –27x²
x : 6x
• 7x² × 3x² = 21x⁴
• 7x² × (–2x) = –14x³
• 7x² × (–4) = –28x²
Expression = (12x⁴ + 9x³ – 27x² + 6x) – (21x⁴ – 14x³ – 28x²)
• Terme en x⁴ : 12x⁴ – 21x⁴ = –9x⁴
• Terme en x³ : 9x³ – (–14x³) = 9x³ + 14x³ = 23x³
• Terme en x² : –27x² – (–28x²) = –27x² + 28x² = +x²
• Terme en x : +6x
• La forme simplifiée de l’expression est donc :
–9x⁴ + 23x³ + x² + 6x
────────────────────────────── 6. Simplifiez l’expression (12abc – 7ab) · (–4abc + 12ab) – (–4a²b²c² + 12a²b²).
Commençons par développer le premier produit :
• 12abc × (–4abc) = –48a²b²c²
• 12abc × 12ab = +144a²b²c
• (–7ab) × (–4abc) = +28a²b²c
• (–7ab) × 12ab = –84a²b²
En regroupant, on obtient :
a²b²c² : –48a²b²c²
a²b²c : 144a²b²c + 28a²b²c = 172a²b²c
a²b² : –84a²b²
Ensuite, remarquons que la deuxième partie de l’expression est
–(–4a²b²c² + 12a²b²) ; en changeant les signes, cela donne :
+4a²b²c² – 12a²b²
Additionnons les deux résultats :
• Terme en a²b²c² : –48a²b²c² + 4a²b²c² = –44a²b²c²
• Terme en a²b²c : 172a²b²c
• Terme en a²b² : –84a²b² – 12a²b² = –96a²b²
• La forme simplifiée finale de l’expression est donc :
–44a²b²c² + 172a²b²c – 96a²b²
ou, factorisé,
a²b² · (–44c² + 172c – 96)
────────────────────────────── Réponses finales :
Chaque étape a été détaillée afin de bien comprendre le processus de développement et de simplification.