Calculez le produit de \((12b - 3)\) et \((0,1b + 0,2)\).
Calculez le produit de \((5a + 2b - c)\) par \(3a\) moins le produit de \(7a\) par \((12a + 3b)\).
Calculez le produit de \(\left(2a^{3} - 7b\right)\) et \(\left(-7a + 3b^{2}\right)\).
Calculez le produit de \((5abc - 2ab)\) et \((12ab - 15abc)\).
Calculez le produit de \(\left(5ab^{2} + 3a^{2}b\right)\) et \(\left(-0,4a^{2}b + 3ab^{2}\right)\).
Calculez le produit de \(\left(-0,2a^{3}b - 7ab^{3}\right)\) et \(\left(-a^{3}b + 2ab^{3}\right)\).
Exercice 1 : 1,2b² + 2,1b – 0,6
Exercice 2 : –69a² – 15ab – 3ac
Exercice 3 : –14a⁴ + 6a³b² + 49ab – 21b³
Exercice 4 : –75a²b²c² + 90a²b²c – 24a²b²
Exercice 5 : –1,2a⁴b² + 7a³b³ + 15a²b⁴
Exercice 6 : 0,2a⁶b² + 6,6a⁴b⁴ – 14a²b⁶
Nous allons résoudre chacune des questions en développant soigneusement les expressions et en simplifiant les résultats. Voici les corrections détaillées.
────────────────────────────── Exercice 1. Calculer le produit de (12b – 3) et (0,1b + 0,2).
• Étape 1 : Appliquer la distributivité (la propriété distributive de la multiplication sur l’addition). (12b – 3) × (0,1b + 0,2) = 12b × (0,1b + 0,2) – 3 × (0,1b + 0,2).
• Étape 2 : Effectuer les multiplications dans chaque partie. • 12b × 0,1b = (12 × 0,1) (b × b) = 1,2b². • 12b × 0,2 = 12 × 0,2 b = 2,4b. • –3 × 0,1b = –0,3b. • –3 × 0,2 = –0,6.
• Étape 3 : Additionner les résultats obtenus. On a donc : 1,2b² + 2,4b – 0,3b – 0,6. Les termes semblables en b se combinent : 2,4b – 0,3b = 2,1b.
• Résultat final : 1,2b² + 2,1b – 0,6.
────────────────────────────── Exercice 2. Calculer le produit de (5a + 2b – c) par 3a moins le produit de 7a par (12a + 3b).
On écrit l’expression : [ (5a + 2b – c) × 3a ] – [ 7a × (12a + 3b) ].
• Partie 1 : Développons (5a + 2b – c) × 3a. 3a × 5a = 15a². 3a × 2b = 6ab. 3a × (–c) = –3ac. Donc, le premier produit est : 15a² + 6ab – 3ac.
• Partie 2 : Développons 7a × (12a + 3b). 7a × 12a = 84a². 7a × 3b = 21ab. Donc, le second produit est : 84a² + 21ab.
• Étape 3 : Soustraire le second du premier. (15a² + 6ab – 3ac) – (84a² + 21ab) = (15a² – 84a²) + (6ab – 21ab) – 3ac = –69a² – 15ab – 3ac.
• Résultat final : –69a² – 15ab – 3ac.
────────────────────────────── Exercice 3. Calculer le produit de (2a³ – 7b) et (–7a + 3b²).
• Étape 1 : Appliquer la distributivité. (2a³ – 7b) × (–7a + 3b²) = 2a³ × (–7a + 3b²) – 7b × (–7a + 3b²).
• Étape 2 : Multiplier chaque terme. Pour 2a³ : 2a³ × (–7a) = –14a^(3+1) = –14a⁴. 2a³ × 3b² = 6a³b². Pour –7b : –7b × (–7a) = +49ab. –7b × 3b² = –21b³.
• Étape 3 : Regrouper tous les termes. On obtient : –14a⁴ + 6a³b² + 49ab – 21b³.
• Résultat final : –14a⁴ + 6a³b² + 49ab – 21b³.
────────────────────────────── Exercice 4. Calculer le produit de (5abc – 2ab) et (12ab – 15abc).
• Étape 1 : Appliquer la distributivité sur chaque parenthèse. (5abc – 2ab) × (12ab – 15abc) = 5abc × (12ab – 15abc) – 2ab × (12ab – 15abc).
• Étape 2 : Développer chaque produit. a) 5abc × 12ab = 5 × 12 (a × a) (b × b) c = 60 a²b²c. 5abc × (–15abc) = –75 (a × a) (b × b) (c × c) = –75 a²b²c². b) –2ab × 12ab = –24 a²b². –2ab × (–15abc) = +30 a²b²c.
• Étape 3 : Regrouper les termes semblables. Pour les termes en a²b²c, on a : 60a²b²c + 30a²b²c = 90a²b²c. Les autres termes sont –75a²b²c² et –24a²b².
• Résultat final : –75a²b²c² + 90a²b²c – 24a²b².
────────────────────────────── Exercice 5. Calculer le produit de (5ab² + 3a²b) et (–0,4a²b + 3ab²).
• Étape 1 : Appliquer la distributivité. (5ab² + 3a²b) × (–0,4a²b + 3ab²) = 5ab² × (–0,4a²b + 3ab²) + 3a²b × (–0,4a²b + 3ab²).
• Étape 2 : Développer chaque terme. Pour 5ab² : 5ab² × (–0,4a²b) = –0,4×5 a^(1+2) b^(2+1) = –2,0a³b³. 5ab² × 3ab² = 15 a^(1+1) b^(2+2) = 15a²b⁴. Pour 3a²b : 3a²b × (–0,4a²b) = –0,4×3 a^(2+2) b^(1+1) = –1,2a⁴b². 3a²b × 3ab² = 9 a^(2+1) b^(1+2) = 9a³b³.
• Étape 3 : Regrouper les termes semblables. Les termes en a³b³ : –2,0a³b³ + 9a³b³ = 7a³b³. Les autres termes sont : 15a²b⁴ et –1,2a⁴b².
• Résultat final : –1,2a⁴b² + 7a³b³ + 15a²b⁴.
────────────────────────────── Exercice 6. Calculer le produit de (–0,2a³b – 7ab³) et (–a³b + 2ab³).
• Étape 1 : Appliquer la distributivité. (–0,2a³b – 7ab³) × (–a³b + 2ab³) = (–0,2a³b) × (–a³b + 2ab³) – 7ab³ × (–a³b + 2ab³).
• Étape 2 : Développer chaque terme. Pour –0,2a³b : –0,2a³b × (–a³b) = (–0,2 × –1) a^(3+3) b^(1+1) = +0,2a⁶b². –0,2a³b × (2ab³) = –0,2×2 a^(3+1) b^(1+3) = –0,4a⁴b⁴. Pour –7ab³ : –7ab³ × (–a³b) = (+7) a^(1+3) b^(3+1) = 7a⁴b⁴. –7ab³ × (2ab³) = –14 a^(1+1) b^(3+3) = –14a²b⁶.
• Étape 3 : Regrouper les termes semblables. Les termes en a⁴b⁴ : –0,4a⁴b⁴ + 7a⁴b⁴ = 6,6a⁴b⁴. Les autres termes sont : +0,2a⁶b² et –14a²b⁶.
• Résultat final : 0,2a⁶b² + 6,6a⁴b⁴ – 14a²b⁶.
────────────────────────────── Voici les corrections complètes pour chacune des questions. Chaque étape vous permet de bien suivre le raisonnement et de comprendre la manière de développer et simplifier ces produits.