Exercice 43

1. Développez l’expression \((2a - 3b) \cdot (5a + b)\).
2. Développez l’expression \((a - 4b) \cdot (-2a + b)\).
3. Développez l’expression \((2x - 4) \cdot (-y + 3x)\).
4. Développez l’expression \((3a - b) \cdot (5a + 4b)\).
5. Développez l’expression \((4a - 5) \cdot (2a + 12)\).
6. Développez l’expression \((7c - 2d) \cdot (3d + c)\).

Réponse

Réponses :
1. 10a² – 13ab – 3b²
2. –2a² + 9ab – 4b²
3. 6x² – 2xy + 4y – 12x
4. 15a² + 7ab – 4b²
5. 8a² + 38a – 60
6. 7c² + 19cd – 6d²

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chaque exercice.

────────────────────────────── Exercice 1. Développez (2a – 3b) · (5a + b)

1. On distribue chacun des termes du premier parenthèse sur les termes du deuxième parenthèse en utilisant la propriété distributive (ou la règle du produit) :

  (2a – 3b) · (5a + b) = 2a · 5a + 2a · b – 3b · 5a – 3b · b

2. Calculons chaque produit :

  • 2a · 5a = 10a²
  • 2a · b = 2ab
  • –3b · 5a = –15ab
  • –3b · b = –3b²

3. Regroupons les termes semblables (ici, les termes en ab) :

  10a² + 2ab – 15ab – 3b² = 10a² – 13ab – 3b²

La forme développée est donc :
  Réponse : 10a² – 13ab – 3b²

────────────────────────────── Exercice 2. Développez (a – 4b) · (–2a + b)

1. Appliquons la distributivité :

  (a – 4b) · (–2a + b) = a · (–2a) + a · b – 4b · (–2a) – 4b · b

2. Calculons chaque terme :

  • a · (–2a) = –2a²
  • a · b = ab
  • –4b · (–2a) = +8ab
  • –4b · b = –4b²

3. Additionnons les termes semblables :

  –2a² + ab + 8ab – 4b² = –2a² + 9ab – 4b²

La forme développée est :
  Réponse : –2a² + 9ab – 4b²

────────────────────────────── Exercice 3. Développez (2x – 4) · (–y + 3x)

1. Utilisons la distributivité :

  (2x – 4) · (–y + 3x) = 2x · (–y) + 2x · 3x – 4 · (–y) – 4 · 3x

2. Calculons chaque produit :

  • 2x · (–y) = –2xy
  • 2x · 3x = 6x²
  • –4 · (–y) = +4y
  • –4 · 3x = –12x

3. Regroupons les résultats :

  Réponse : 6x² – 2xy + 4y – 12x

────────────────────────────── Exercice 4. Développez (3a – b) · (5a + 4b)

1. Appliquons la distributivité :

  (3a – b) · (5a + 4b) = 3a · 5a + 3a · 4b – b · 5a – b · 4b

2. Calculons chaque produit :

  • 3a · 5a = 15a²
  • 3a · 4b = 12ab
  • –b · 5a = –5ab
  • –b · 4b = –4b²

3. Regroupons les termes semblables :

  15a² + 12ab – 5ab – 4b² = 15a² + 7ab – 4b²

La forme développée est :
  Réponse : 15a² + 7ab – 4b²

────────────────────────────── Exercice 5. Développez (4a – 5) · (2a + 12)

1. On distribue :

  (4a – 5) · (2a + 12) = 4a · 2a + 4a · 12 – 5 · 2a – 5 · 12

2. Calculons :

  • 4a · 2a = 8a²
  • 4a · 12 = 48a
  • –5 · 2a = –10a
  • –5 · 12 = –60

3. Additionnons les termes semblables :

  48a – 10a = 38a

La forme développée est :
  Réponse : 8a² + 38a – 60

────────────────────────────── Exercice 6. Développez (7c – 2d) · (3d + c)

1. Appliquons la distributivité :

  (7c – 2d) · (3d + c) = 7c · 3d + 7c · c – 2d · 3d – 2d · c

2. Calculons chaque terme :

  • 7c · 3d = 21cd
  • 7c · c = 7c²
  • –2d · 3d = –6d²
  • –2d · c = –2cd

3. Regroupons les termes semblables (pour les produits contenant cd) :

  21cd – 2cd = 19cd

La forme développée est :
  Réponse : 7c² + 19cd – 6d²

────────────────────────────── Résumé des réponses :

1. (2a – 3b)(5a + b) = 10a² – 13ab – 3b²
   
2. (a – 4b)(–2a + b) = –2a² + 9ab – 4b²
   
3. (2x – 4)(–y + 3x) = 6x² – 2xy + 4y – 12x
   
4. (3a – b)(5a + 4b) = 15a² + 7ab – 4b²
   
5. (4a – 5)(2a + 12) = 8a² + 38a – 60
   
6. (7c – 2d)(3d + c) = 7c² + 19cd – 6d²

Chaque étape repose sur la règle de distribution et sur le regroupement des termes semblables. Cette méthode permet de simplifier les expressions en les transformant sous forme développée.