Simplifiez l’expression suivante :
\[\frac{2x - 5y}{4} - \frac{3x - 2y}{3} + \frac{5x - y}{6}\]
Simplifiez l’expression suivante :
\[\frac{7a - 2b}{14} - \frac{3b - 4a}{7} + \frac{12b - 5a}{2}\]
Simplifiez l’expression suivante :
\[\frac{3x - y + 2z}{5} - \frac{2y + x - 7z}{10} + \frac{3y - 2z + x}{20}\]
Simplifiez l’expression suivante :
\[\frac{3w - 2v}{8} - \frac{w + 3v}{6} + \frac{3w - 5v}{24}\]
Simplifiez l’expression suivante :
\[\frac{2x^{2} - 7y^{2}}{4} + \frac{y^{2} - x^{2}}{3} - \frac{7x^{2} + 3y^{2}}{6}\]
Simplifiez l’expression suivante :
\[\frac{1}{3} \cdot (3a - 2b) + \frac{4}{5} \cdot (10a + b) - \frac{1}{5} \cdot (-2a + 3b)\]
Réponses : 1. (4x – 9y)/12
2. (38b – 10a)/7
3. (11x – 5y + 20z)/20
4. (8w – 23v)/24
5. –(12x² + 23y²)/12
6. (141a – 7b)/15
Nous allons simplifier chacune des expressions pas à pas. Pour chaque exercice, nous mettrons d’abord les termes sur un dénominateur commun (lorsque cela est nécessaire), puis nous regrouperons les termes semblables.
────────────────────────────── Exercice 1
Simplifier (2x – 5y)/4 – (3x – 2y)/3 + (5x – y)/6
Identifier le dénominateur commun des fractions dont les
dénominateurs sont 4, 3 et 6.
Le plus petit multiple commun de 4, 3 et 6 est 12.
Transformer chaque fraction pour obtenir le dénominateur 12 :
• Première fraction :
(2x – 5y)/4 = [3 × (2x – 5y)]/12 = (6x – 15y)/12
• Deuxième fraction :
(3x – 2y)/3 = [4 × (3x – 2y)]/12 = (12x – 8y)/12
Mais il y a un signe moins devant la fraction, donc on a : – (12x –
8y)/12 = (–12x + 8y)/12
• Troisième fraction :
(5x – y)/6 = [2 × (5x – y)]/12 = (10x – 2y)/12
• Pour x : 6x – 12x + 10x = 4x
• Pour y : –15y + 8y – 2y = –9y
Réponse de l’exercice 1 : (4x – 9y)/12
────────────────────────────── Exercice 2
Simplifier (7a – 2b)/14 – (3b – 4a)/7 + (12b – 5a)/2
Les dénominateurs sont 14, 7 et 2. Le dénominateur commun est 14.
Transformer chaque fraction en écrivant le dénominateur 14 :
• Première fraction :
(7a – 2b)/14 reste inchangée.
• Deuxième fraction :
(3b – 4a)/7 = [2 × (3b – 4a)]/14 = (6b – 8a)/14
Avec le signe moins devant la fraction, cela donne : – (6b – 8a)/14 =
(8a – 6b)/14
• Troisième fraction :
(12b – 5a)/2 = [7 × (12b – 5a)]/14 = (84b – 35a)/14
Additionner les numérateurs :
Première partie : 7a – 2b
Deuxième partie : 8a – 6b
Troisième partie : (–35a + 84b)
Total pour a : 7a + 8a – 35a = –20a
Total pour b : –2b – 6b + 84b = 76b
On obtient :
(–20a + 76b)/14
On simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 2 :
(–10a + 38b)/7
On peut aussi écrire cela en mettant le terme positif en premier :
(38b – 10a)/7
Réponse de l’exercice 2 : (38b – 10a)/7
────────────────────────────── Exercice 3
Simplifier (3x – y + 2z)/5 – (2y + x – 7z)/10 + (3y – 2z + x)/20
Les dénominateurs sont 5, 10 et 20. Le plus petit dénominateur commun est 20.
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur 20 :
• Première fraction :
(3x – y + 2z)/5 = [4 × (3x – y + 2z)]/20 = (12x – 4y + 8z)/20
• Deuxième fraction :
(2y + x – 7z)/10 = [2 × (2y + x – 7z)]/20 = (2x + 4y – 14z)/20
Avec le signe moins devant, cela devient : – (2x + 4y – 14z)/20 = (–2x
– 4y + 14z)/20
• Troisième fraction :
(3y – 2z + x)/20 reste inchangée (on peut écrire x + 3y – 2z).
• Coefficient de x : 12x – 2x + x = 11x
• Coefficient de y : –4y – 4y + 3y = –5y
• Coefficient de z : 8z + 14z – 2z = 20z
Réponse de l’exercice 3 : (11x – 5y + 20z)/20
────────────────────────────── Exercice 4
Simplifier (3w – 2v)/8 – (w + 3v)/6 + (3w – 5v)/24
Les dénominateurs sont 8, 6 et 24. Le dénominateur commun est 24.
Mettre chaque fraction sur le dénominateur 24 :
• Première fraction :
(3w – 2v)/8 = [3 × (3w – 2v)]/24 = (9w – 6v)/24
• Deuxième fraction :
(w + 3v)/6 = [4 × (w + 3v)]/24 = (4w + 12v)/24
Le signe moins devant la fraction donne : – (4w + 12v)/24 = (–4w –
12v)/24
• Troisième fraction :
(3w – 5v)/24 reste inchangé.
(9w – 6v) + (–4w – 12v) + (3w – 5v)
Pour w : 9w – 4w + 3w = 8w
Pour v : –6v – 12v – 5v = –23v
Réponse de l’exercice 4 : (8w – 23v)/24
────────────────────────────── Exercice 5
Simplifier (2x² – 7y²)/4 + (y² – x²)/3 – (7x² + 3y²)/6
Les dénominateurs sont 4, 3 et 6. Le plus petit dénominateur commun est 12.
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur 12 :
• Première fraction :
(2x² – 7y²)/4 = [3 × (2x² – 7y²)]/12 = (6x² – 21y²)/12
• Deuxième fraction :
(y² – x²)/3 = [4 × (y² – x²)]/12 = (4y² – 4x²)/12
• Troisième fraction :
(7x² + 3y²)/6 = [2 × (7x² + 3y²)]/12 = (14x² + 6y²)/12
Avec le signe moins qui précède : – (14x² + 6y²)/12
• Termes en x² : 6x² – 4x² – 14x² = –12x²
• Termes en y² : –21y² + 4y² – 6y² = –23y²
On peut également écrire cette réponse en mettant le signe moins
devant la fraction :
–(12x² + 23y²)/12
Réponse de l’exercice 5 : –(12x² + 23y²)/12
────────────────────────────── Exercice 6
Simplifier (1/3)·(3a – 2b) + (4/5)·(10a + b) – (1/5)·(–2a + 3b)
• Premier terme :
(1/3)·(3a – 2b) = (3a)/3 – (2b)/3 = a – (2/3)·b
• Deuxième terme :
(4/5)·(10a + b) = (40a)/5 + (4b)/5 = 8a + (4/5)·b
• Troisième terme :
(1/5)·(–2a + 3b) = (–2a)/5 + (3b)/5
Attention au signe moins devant la fraction :
– (1/5)·(–2a + 3b) = –[ (–2a)/5 + (3b)/5 ] = (2a)/5 – (3b)/5
• Pour a :
a + 8a + (2a)/5 = (9a) + (2a)/5
Pour écrire en une seule fraction, on écrit a = (5a)/5 et 8a =
(40a)/5.
Donc, (5a + 40a + 2a)/5 = (47a)/5
• Pour b :
– (2/3)·b + (4/5)·b – (3/5)·b
D’abord, (4/5) – (3/5) = (1/5).
On a alors : (1/5)·b – (2/3)·b.
Pour soustraire, on met au même dénominateur, ici 15 :
(1/5)·b = (3b)/15 et (2/3)·b = (10b)/15.
Ainsi, (3b – 10b)/15 = –(7b)/15
Si l’on souhaite regrouper sur un dénominateur commun (15 par
exemple) :
(47a)/5 = (141a)/15
L’expression devient (141a – 7b)/15
Réponse de l’exercice 6 : (141a – 7b)/15
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses
1. (4x – 9y)/12
2. (38b – 10a)/7
3. (11x – 5y + 20z)/20
4. (8w – 23v)/24
5. –(12x² + 23y²)/12
6. (141a – 7b)/15
Chaque correction a été réalisée en regroupant les termes similaires et en simplifiant les fractions. Vous pouvez ainsi vérifier que votre démarche suit bien ces étapes systématiques pour la simplification d’expressions algébriques.