Développer chacune de ces expressions :
\(2 x^{3} \cdot (3 x y + x)\)
\(\left(2 a^{2} b - 3 b\right) \cdot a b\)
\(3 x^{2} y \cdot \left(x y^{2} - 2 x y - 1\right)\)
\(\left(-4 a^{2} b\right) \cdot \left(-4 a + 2 a^{2} b - 3 b^{3}\right)\)
\(\left(x^{2} y - 2 x y^{2} + 3 y^{3}\right) \cdot \left(-2 x^{2}\right)\)
\(2 a b \cdot \left(a^{2} - 2 a b + b^{2}\right) \cdot a\)
Résumé des corrections :
Question : Développer l’expression \(2x^{3} \cdot (3xy + x)\).
Correction :
Pour développer l’expression \(2x^{3} \cdot (3xy + x)\), nous allons utiliser la propriété distributive qui consiste à multiplier chaque terme à l’intérieur des parenthèses par le facteur extérieur.
Appliquer la distributivité :
\[ 2x^{3} \cdot 3xy + 2x^{3} \cdot x \]
Multiplier les coefficients et les variables :
Pour le premier terme :
\[ 2 \times 3 = 6 \]
\[ x^{3} \times x \times y = x^{4}y \]
Donc, \(2x^{3} \cdot 3xy = 6x^{4}y\).
Pour le deuxième terme :
\[ 2x^{3} \cdot x = 2x^{4} \]
Écrire le développement final :
\[ 6x^{4}y + 2x^{4} \]
On peut factoriser \(x^{4}\) si nécessaire :
\[ x^{4}(6y + 2) \]
Toutefois, la forme développée est :
\[ 6x^{4}y + 2x^{4} \]
Question : Développer l’expression \(\left(2a^{2}b - 3b\right) \cdot ab\).
Correction :
Pour développer \(\left(2a^{2}b - 3b\right) \cdot ab\), nous multiplions chaque terme à l’intérieur des parenthèses par \(ab\).
Appliquer la distributivité :
\[ 2a^{2}b \cdot ab - 3b \cdot ab \]
Multiplier les coefficients et les variables :
Pour le premier terme :
\[ 2 \times 1 = 2 \]
\[ a^{2} \times a = a^{3} \]
\[ b \times b = b^{2} \]
Donc, \(2a^{2}b \cdot ab = 2a^{3}b^{2}\).
Pour le deuxième terme :
\[ -3 \times 1 = -3 \]
\[ b \times a = ab \]
\[ b \times b = b^{2} \]
Donc, \(-3b \cdot ab = -3a b^{2}\).
Écrire le développement final :
\[ 2a^{3}b^{2} - 3ab^{2} \]
Question : Développer l’expression \(3x^{2}y \cdot \left(xy^{2} - 2xy - 1\right)\).
Correction :
Pour développer \(3x^{2}y \cdot \left(xy^{2} - 2xy - 1\right)\), nous allons multiplier chaque terme à l’intérieur des parenthèses par \(3x^{2}y\).
Appliquer la distributivité :
\[ 3x^{2}y \cdot xy^{2} - 3x^{2}y \cdot 2xy - 3x^{2}y \cdot 1 \]
Multiplier les coefficients et les variables :
Pour le premier terme :
\[ 3 \times 1 = 3 \]
\[ x^{2} \times x = x^{3} \]
\[ y \times y^{2} = y^{3} \]
Donc, \(3x^{2}y \cdot xy^{2} = 3x^{3}y^{3}\).
Pour le deuxième terme :
\[ -3 \times 2 = -6 \]
\[ x^{2} \times x = x^{3} \]
\[ y \times y = y^{2} \]
Donc, \(-3x^{2}y \cdot 2xy = -6x^{3}y^{2}\).
Pour le troisième terme :
\[ -3 \times 1 = -3 \]
\[ x^{2} \times 1 = x^{2} \]
\[ y \times 1 = y \]
Donc, \(-3x^{2}y \cdot 1 = -3x^{2}y\).
Écrire le développement final :
\[ 3x^{3}y^{3} - 6x^{3}y^{2} - 3x^{2}y \]
Question : Développer l’expression \(\left(-4a^{2}b\right) \cdot \left(-4a + 2a^{2}b - 3b^{3}\right)\).
Correction :
Pour développer \(\left(-4a^{2}b\right) \cdot \left(-4a + 2a^{2}b - 3b^{3}\right)\), nous multiplions chaque terme à l’intérieur des parenthèses par \(-4a^{2}b\).
Appliquer la distributivité :
\[ (-4a^{2}b) \cdot (-4a) + (-4a^{2}b) \cdot 2a^{2}b + (-4a^{2}b) \cdot (-3b^{3}) \]
Multiplier les coefficients et les variables :
Pour le premier terme :
\[ -4 \times -4 = 16 \]
\[ a^{2} \times a = a^{3} \]
\[ b \times 1 = b \]
Donc, \(-4a^{2}b \cdot (-4a) = 16a^{3}b\).
Pour le deuxième terme :
\[ -4 \times 2 = -8 \]
\[ a^{2} \times a^{2} = a^{4} \]
\[ b \times b = b^{2} \]
Donc, \(-4a^{2}b \cdot 2a^{2}b = -8a^{4}b^{2}\).
Pour le troisième terme :
\[ -4 \times -3 = 12 \]
\[ a^{2} \times 1 = a^{2} \]
\[ b \times b^{3} = b^{4} \]
Donc, \(-4a^{2}b \cdot (-3b^{3}) = 12a^{2}b^{4}\).
Écrire le développement final :
\[ 16a^{3}b - 8a^{4}b^{2} + 12a^{2}b^{4} \]
Question : Développer l’expression \(\left(x^{2}y - 2xy^{2} + 3y^{3}\right) \cdot \left(-2x^{2}\right)\).
Correction :
Pour développer \(\left(x^{2}y - 2xy^{2} + 3y^{3}\right) \cdot \left(-2x^{2}\right)\), nous allons multiplier chaque terme à l’intérieur des parenthèses par \(-2x^{2}\).
Appliquer la distributivité :
\[ x^{2}y \cdot (-2x^{2}) + (-2xy^{2}) \cdot (-2x^{2}) + 3y^{3} \cdot (-2x^{2}) \]
Multiplier les coefficients et les variables :
Pour le premier terme :
\[ 1 \times -2 = -2 \]
\[ x^{2} \times x^{2} = x^{4} \]
\[ y \times 1 = y \]
Donc, \(x^{2}y \cdot (-2x^{2}) = -2x^{4}y\).
Pour le deuxième terme :
\[ -2 \times -2 = 4 \]
\[ x \times x^{2} = x^{3} \]
\[ y^{2} \times 1 = y^{2} \]
Donc, \(-2xy^{2} \cdot (-2x^{2}) = 4x^{3}y^{2}\).
Pour le troisième terme :
\[ 3 \times -2 = -6 \]
\[ y^{3} \times x^{2} = x^{2}y^{3} \]
Donc, \(3y^{3} \cdot (-2x^{2}) = -6x^{2}y^{3}\).
Écrire le développement final :
\[ -2x^{4}y + 4x^{3}y^{2} - 6x^{2}y^{3} \]
Question : Développer l’expression \(2ab \cdot \left(a^{2} - 2ab + b^{2}\right) \cdot a\).
Correction :
Pour développer \(2ab \cdot \left(a^{2} - 2ab + b^{2}\right) \cdot a\), nous allons procéder en deux étapes : d’abord multiplier \(2ab\) par chaque terme du premier parenthèse, puis multiplier le résultat par \(a\).
Première étape : Distribuer \(2ab\) sur \(\left(a^{2} - 2ab + b^{2}\right)\) :
\[ 2ab \cdot a^{2} - 2ab \cdot 2ab + 2ab \cdot b^{2} \]
Multiplier les coefficients et les variables :
Pour le premier terme :
\[ 2 \times 1 = 2 \]
\[ ab \cdot a^{2} = a^{3}b \]
Donc, \(2ab \cdot a^{2} = 2a^{3}b\).
Pour le deuxième terme :
\[ -2 \times 2 = -4 \]
\[ ab \cdot ab = a^{2}b^{2} \]
Donc, \(-2ab \cdot 2ab = -4a^{2}b^{2}\).
Pour le troisième terme :
\[ 2 \times 1 = 2 \]
\[ ab \cdot b^{2} = ab^{3} \]
Donc, \(2ab \cdot b^{2} = 2ab^{3}\).
Résultat après la première étape :
\[ 2a^{3}b - 4a^{2}b^{2} + 2ab^{3} \]
Deuxième étape : Multiplier par \(a\) :
\[ a \cdot (2a^{3}b - 4a^{2}b^{2} + 2ab^{3}) \]
Distribuer \(a\) sur chaque terme :
\[ a \cdot 2a^{3}b + a \cdot (-4a^{2}b^{2}) + a \cdot 2ab^{3} \]
Multiplier les coefficients et les variables :
Pour le premier terme :
\[ a \times 2 = 2a \]
\[ a^{1} \times a^{3} = a^{4} \]
\[ b \times 1 = b \]
Donc, \(a \cdot 2a^{3}b = 2a^{4}b\).
Pour le deuxième terme :
\[ a \times -4 = -4a \]
\[ a^{1} \times a^{2} = a^{3} \]
\[ b^{2} \times 1 = b^{2} \]
Donc, \(a \cdot (-4a^{2}b^{2}) = -4a^{3}b^{2}\).
Pour le troisième terme :
\[ a \times 2 = 2a \]
\[ a^{1} \times a = a^{2} \]
\[ b^{3} \times 1 = b^{3} \]
Donc, \(a \cdot 2ab^{3} = 2a^{2}b^{3}\).
Écrire le développement final :
\[ 2a^{4}b - 4a^{3}b^{2} + 2a^{2}b^{3} \]