Développer chacune des expressions suivantes :
Exercice 1 : \[ 2x^{3}y^{2} + 2x^{2}y \]
Exercice 2 : \[ 5y^{5} - 10x^{2}y^{3} + 5y^{2} \]
Exercice 3 : \[ -3x^{2}y^{3} + 6x^{3}y^{3} - 3x^{2}y^{2} \]
Exercice 4 : \[ 6a^{3}b^{2} - 12a^{3}b^{3} \]
Exercice 5 : \[ 12a^{4}b - 8a^{3}b^{2} - 4ab \]
Exercice 6 : \[ 4a^{3}b^{2} - 6a^{2}b^{3} - 2ab^{4} \]
Développer l’expression suivante : \[ 2xy \cdot \left(x^{2}y + x\right) \]
Correction détaillée :
Pour développer cette expression, il faut multiplier chaque terme à l’intérieur des parenthèses par \(2xy\) en utilisant la propriété distributive.
Multiplier le premier terme par \(2xy\) : \[ 2xy \cdot x^{2}y = 2 \cdot x \cdot y \cdot x^{2} \cdot y \] Rassemblons les puissances de \(x\) et de \(y\) : \[ 2 \cdot x^{1+2} \cdot y^{1+1} = 2x^{3}y^{2} \]
Multiplier le deuxième terme par \(2xy\) : \[ 2xy \cdot x = 2 \cdot x \cdot y \cdot x \] Simplifions les puissances de \(x\) : \[ 2 \cdot x^{1+1} \cdot y = 2x^{2}y \]
Assembler les deux résultats obtenus : \[ 2x^{3}y^{2} + 2x^{2}y \]
Réponse finale : \[ 2x^{3}y^{2} + 2x^{2}y \]
Développer l’expression suivante : \[ 5y^{2} \cdot \left(y^{3} - 2x^{2}y + 1\right) \]
Correction détaillée :
Pour développer, multiplions chaque terme à l’intérieur des parenthèses par \(5y^{2}\).
Multiplier \(5y^{2}\) par \(y^{3}\) : \[ 5y^{2} \cdot y^{3} = 5 \cdot y^{2+3} = 5y^{5} \]
Multiplier \(5y^{2}\) par \(-2x^{2}y\) : \[ 5y^{2} \cdot (-2x^{2}y) = -10x^{2} \cdot y^{2+1} = -10x^{2}y^{3} \]
Multiplier \(5y^{2}\) par \(1\) : \[ 5y^{2} \cdot 1 = 5y^{2} \]
Assembler les résultats : \[ 5y^{5} - 10x^{2}y^{3} + 5y^{2} \]
Réponse finale : \[ 5y^{5} - 10x^{2}y^{3} + 5y^{2} \]
Développer l’expression suivante : \[ 3xy^{2} \cdot \left(-xy + 2x^{2}y - x\right) \]
Correction détaillée :
Développons en multipliant chaque terme à l’intérieur des parenthèses par \(3xy^{2}\).
Multiplier \(3xy^{2}\) par \(-xy\) : \[ 3xy^{2} \cdot (-xy) = -3 \cdot x^{1+1} \cdot y^{2+1} = -3x^{2}y^{3} \]
Multiplier \(3xy^{2}\) par \(2x^{2}y\) : \[ 3xy^{2} \cdot 2x^{2}y = 6 \cdot x^{1+2} \cdot y^{2+1} = 6x^{3}y^{3} \]
Multiplier \(3xy^{2}\) par \(-x\) : \[ 3xy^{2} \cdot (-x) = -3 \cdot x^{1+1} \cdot y^{2} = -3x^{2}y^{2} \]
Assembler les résultats : \[ -3x^{2}y^{3} + 6x^{3}y^{3} - 3x^{2}y^{2} \]
Réponse finale : \[ -3x^{2}y^{3} + 6x^{3}y^{3} - 3x^{2}y^{2} \]
Développer l’expression suivante : \[ \left(2ab - 4ab^{2}\right) \cdot 3a^{2}b \]
Correction détaillée :
Appliquons la distributivité en multipliant chaque terme dans les parenthèses par \(3a^{2}b\).
Multiplier \(2ab\) par \(3a^{2}b\) : \[ 2ab \cdot 3a^{2}b = 6 \cdot a^{1+2} \cdot b^{1+1} = 6a^{3}b^{2} \]
Multiplier \(-4ab^{2}\) par \(3a^{2}b\) : \[ -4ab^{2} \cdot 3a^{2}b = -12 \cdot a^{1+2} \cdot b^{2+1} = -12a^{3}b^{3} \]
Assembler les résultats : \[ 6a^{3}b^{2} - 12a^{3}b^{3} \]
Réponse finale : \[ 6a^{3}b^{2} - 12a^{3}b^{3} \]
Développer l’expression suivante : \[ \left(3a^{3} - 2a^{2}b - 1\right) \cdot 4ab \]
Correction détaillée :
Distribuons \(4ab\) à chaque terme à l’intérieur des parenthèses.
Multiplier \(3a^{3}\) par \(4ab\) : \[ 3a^{3} \cdot 4ab = 12 \cdot a^{3+1} \cdot b^{1} = 12a^{4}b \]
Multiplier \(-2a^{2}b\) par \(4ab\) : \[ -2a^{2}b \cdot 4ab = -8 \cdot a^{2+1} \cdot b^{1+1} = -8a^{3}b^{2} \]
Multiplier \(-1\) par \(4ab\) : \[ -1 \cdot 4ab = -4ab \]
Assembler les résultats : \[ 12a^{4}b - 8a^{3}b^{2} - 4ab \]
Réponse finale : \[ 12a^{4}b - 8a^{3}b^{2} - 4ab \]
Développer l’expression suivante : \[ a \cdot \left(2a^{2}b - 3ab^{2} - b^{3}\right) \cdot 2b \]
Correction détaillée :
Nous pouvons procéder en deux étapes : d’abord multiplier \(a\) par chaque terme à l’intérieur des parenthèses, puis multiplier le résultat par \(2b\).
Multiplier \(a\) par chaque terme :
Multiplier \(a\) par \(2a^{2}b\) : \[ a \cdot 2a^{2}b = 2 \cdot a^{1+2} \cdot b = 2a^{3}b \]
Multiplier \(a\) par \(-3ab^{2}\) : \[ a \cdot (-3ab^{2}) = -3 \cdot a^{1+1} \cdot b^{2} = -3a^{2}b^{2} \]
Multiplier \(a\) par \(-b^{3}\) : \[ a \cdot (-b^{3}) = -a \cdot b^{3} = -ab^{3} \]
Le résultat intermédiaire est : \[ 2a^{3}b - 3a^{2}b^{2} - ab^{3} \]
Multiplier chaque terme par \(2b\) :
Multiplier \(2a^{3}b\) par \(2b\) : \[ 2a^{3}b \cdot 2b = 4a^{3}b^{1+1} = 4a^{3}b^{2} \]
Multiplier \(-3a^{2}b^{2}\) par \(2b\) : \[ -3a^{2}b^{2} \cdot 2b = -6a^{2}b^{2+1} = -6a^{2}b^{3} \]
Multiplier \(-ab^{3}\) par \(2b\) : \[ -ab^{3} \cdot 2b = -2a \cdot b^{3+1} = -2ab^{4} \]
Assembler les résultats : \[ 4a^{3}b^{2} - 6a^{2}b^{3} - 2ab^{4} \]
Réponse finale : \[ 4a^{3}b^{2} - 6a^{2}b^{3} - 2ab^{4} \]