Quel polynôme faut-il additionner au polynôme \(\frac{1}{2} x^{2} + 1\) pour obtenir \(\frac{5}{2} x^{2} + 2 x + \frac{1}{2}\) ?
Le polynôme à ajouter est :
\[ \boxed{2x^{2} + 2x - \dfrac{1}{2}} \]
Pour déterminer le polynôme à additionner au polynôme \(\frac{1}{2} x^{2} + 1\) afin d’obtenir \(\frac{5}{2} x^{2} + 2x + \frac{1}{2}\), suivons les étapes suivantes :
Nous avons deux polynômes : - Polynôme initial : \(P_{\text{initial}}(x) = \frac{1}{2} x^{2} + 1\) - Polynôme cible : \(P_{\text{cible}}(x) = \frac{5}{2} x^{2} + 2x + \frac{1}{2}\)
Nous cherchons un polynôme \(Q(x)\) tel que : \[ P_{\text{initial}}(x) + Q(x) = P_{\text{cible}}(x) \]
Pour trouver \(Q(x)\), nous allons soustraire le polynôme initial du polynôme cible : \[ Q(x) = P_{\text{cible}}(x) - P_{\text{initial}}(x) \]
Calculons chaque terme séparément.
Terme en \(x^{2}\) : \[ \frac{5}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} = \left( \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \right) x^{2} = \frac{4}{2} x^{2} = 2x^{2} \]
Terme en \(x\) : Le polynôme initial ne contient pas de terme en \(x\), donc : \[ 2x - 0 = 2x \]
Terme constant : \[ \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \]
En combinant les résultats obtenus pour chaque terme, nous avons : \[ Q(x) = 2x^{2} + 2x - \frac{1}{2} \]
Le polynôme qu’il faut additionner à \(\frac{1}{2} x^{2} + 1\) pour obtenir \(\frac{5}{2} x^{2} + 2x + \frac{1}{2}\) est : \[ \boxed{2x^{2} + 2x - \dfrac{1}{2}} \]