Quel polynôme faut-il soustraire du polynôme \(2x^{3} - 6x^{2} + 2\) pour obtenir \(-x^{3} - 11x^{2} + 12\) ?
Le polynôme à soustraire est \(3x^{3} + 5x^{2} - 10\).
Pour déterminer quel polynôme il faut soustraire du polynôme \(2x^{3} - 6x^{2} + 2\) afin d’obtenir \(-x^{3} - 11x^{2} + 12\), suivons les étapes suivantes :
Nous cherchons un polynôme \(P(x)\) tel que :
\[ (2x^{3} - 6x^{2} + 2) - P(x) = -x^{3} - 11x^{2} + 12 \]
Notre objectif est de résoudre cette équation pour \(P(x)\).
Pour isoler \(P(x)\), nous réarrangeons l’équation :
\[ P(x) = (2x^{3} - 6x^{2} + 2) - (-x^{3} - 11x^{2} + 12) \]
Développons l’expression en enlevant les parenthèses :
\[ P(x) = 2x^{3} - 6x^{2} + 2 + x^{3} + 11x^{2} - 12 \]
Regroupons les termes en fonction de leur degré :
Termes en \(x^{3}\) : \[ 2x^{3} + x^{3} = 3x^{3} \]
Termes en \(x^{2}\) : \[ -6x^{2} + 11x^{2} = 5x^{2} \]
Termes constants : \[ 2 - 12 = -10 \]
En rassemblant les termes simplifiés, nous obtenons :
\[ P(x) = 3x^{3} + 5x^{2} - 10 \]
Le polynôme à soustraire est donc :
\[ \boxed{3x^{3} + 5x^{2} - 10} \]