Exercice 34

Simplifiez les expressions suivantes :

1. \((2 a + 5 b) - (7 a + 2 b)\)
   
2. \((3 x - 4 y + z) + (2 x - y + 2 z)\)
   
3. \(\left(4 a^{2} - 7 a + 2\right) - \left(-2 a^{2} + 3 a - 2\right)\)
   
4. \(-\left(4 x^{2} - 2 x + 4\right) + \left(-4 x^{2} - 7 x + 1\right)\)
   
5. \(\left(4 a b^{2} - 5 a^{2} b\right) - \left(3 a b^{2} + 2 a^{2} b\right)\)
   
6. \(-\left(2 a^{3} - 3 b^{2}\right) - \left(7 a^{3} + b^{2}\right) + \left(3 a^{3} - b^{2}\right)\)

Réponse

Les réponses simplifiées sont : 1) –5a + 3b
2) 5x – 5y + 3z
3) 6a² – 10a + 4
4) –8x² – 5x – 3
5) ab² – 7a²b
6) –6a³ + b²

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque simplification :

────────────────────────────── Exercice 1) Simplifier (2a + 5b) – (7a + 2b)

1. On écrit l’expression en remarquant que le signe moins devant la seconde parenthèse change le signe de chacun de ses termes :   (2a + 5b) – 7a – 2b.
2. On regroupe ensuite les termes semblables, c’est-à-dire les termes contenant a et ceux contenant b :   (2a – 7a) + (5b – 2b).
3. On effectue les opérations sur les coefficients :   2a – 7a = –5a  et  5b – 2b = 3b.
4. La forme simplifiée est donc :   –5a + 3b.

────────────────────────────── Exercice 2) Simplifier (3x – 4y + z) + (2x – y + 2z)

1. On retire les parenthèses (ici, le signe devant chaque parenthèse est positif, donc les signes restent inchangés) :   3x – 4y + z + 2x – y + 2z.
2. On regroupe les termes semblables (les termes en x, en y et en z) :   (3x + 2x) + (–4y – y) + (z + 2z).
3. On calcule les coefficients :   3x + 2x = 5x,   –4y – y = –5y,   z + 2z = 3z.
4. L’expression simplifiée est :   5x – 5y + 3z.

────────────────────────────── Exercice 3) Simplifier (4a² – 7a + 2) – (–2a² + 3a – 2)

1. Il faut enlever la seconde parenthèse en distribuant le signe négatif à chacun de ses termes :   4a² – 7a + 2 + 2a² – 3a + 2.
2. On regroupe les termes semblables :   (4a² + 2a²) + (–7a – 3a) + (2 + 2).
3. On effectue les opérations :   4a² + 2a² = 6a²,   –7a – 3a = –10a,   2 + 2 = 4.
4. L’expression se simplifie en :   6a² – 10a + 4.

────────────────────────────── Exercice 4) Simplifier –(4x² – 2x + 4) + (–4x² – 7x + 1)

1. On commence par distribuer le signe négatif à l’expression entre parenthèses :   –4x² + 2x – 4.
2. On réécrit l’expression complète :   –4x² + 2x – 4 – 4x² – 7x + 1.
3. Ensuite, on regroupe les termes semblables :   Pour x² : –4x² – 4x² = –8x²,   Pour x : 2x – 7x = –5x,   Pour les constantes : –4 + 1 = –3.
4. La forme simplifiée est donc :   –8x² – 5x – 3.

────────────────────────────── Exercice 5) Simplifier (4ab² – 5a²b) – (3ab² + 2a²b)

1. On distribue le signe négatif à la seconde parenthèse :   4ab² – 5a²b – 3ab² – 2a²b.
2. On regroupe les termes semblables. Les termes comportant ab² et ceux comportant a²b se regroupent ainsi :   Pour ab² : 4ab² – 3ab² = ab²,   Pour a²b : –5a²b – 2a²b = –7a²b.
3. L’expression simplifiée est :   ab² – 7a²b.

────────────────────────────── Exercice 6) Simplifier –(2a³ – 3b²) – (7a³ + b²) + (3a³ – b²)

1. Tout d’abord, il faut distribuer les signes devant chaque parenthèse :   Pour le premier terme : –(2a³ – 3b²) = –2a³ + 3b².   Pour le deuxième terme : –(7a³ + b²) = –7a³ – b².   Le troisième terme reste inchangé : + 3a³ – b².
2. On réunit toutes les expressions :   –2a³ + 3b² – 7a³ – b² + 3a³ – b².
3. Ensuite, on regroupe les termes semblables :   Pour a³ : –2a³ – 7a³ + 3a³ = (–2 – 7 + 3)a³ = –6a³,   Pour b² : 3b² – b² – b² = (3 – 1 – 1)b² = 1b², ce qui s’écrit b².
4. La forme simplifiée est :   –6a³ + b².

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :

1. –5a + 3b
   
2. 5x – 5y + 3z
   
3. 6a² – 10a + 4
   
4. –8x² – 5x – 3
   
5. ab² – 7a²b
   
6. –6a³ + b²

Chaque étape a consisté à distribuer correctement les signes, regrouper les termes semblables et simplifier les coefficients. Cette méthode de simplification est très utile pour rendre une expression mathématique plus simple et plus facile à manipuler.