Exercice 33

Exprimez à l’aide d’un monôme ou d’un polynôme :

Le volume total d’un corps formé de deux cubes, l’un d’arête \(x\) et l’autre d’arête \(y\).
Le périmètre d’un triangle équilatéral de côté \(x\).
L’aire d’un carré de diagonale \(d\).
L’aire d’un losange dont la petite diagonale mesure \(d\) et la grande est le triple de la petite.

Dans les exercices 94 à 97, développez puis réduisez chacune des expressions :

Réponse

Réponses aux Exercices 94 à 97

Exercice 94 : \[ V_{\text{total}} = x^3 + y^3 \]

Exercice 95 : \[ P = 3x \]

Exercice 96 : \[ A = \frac{d^2}{2} \]

Exercice 97 : \[ A = \frac{3d^2}{2} \]

Corrigé détaillé

Exercice 94 : Volume total de deux cubes

Énoncé :
Exprimez à l’aide d’un monôme ou d’un polynôme le volume total d’un corps formé de deux cubes, l’un d’arête \(x\) et l’autre d’arête \(y\).

Correction :

Pour trouver le volume total de deux cubes, nous devons calculer le volume de chaque cube séparément puis les additionner.

Volume du premier cube :
- Arête : \(x\)
- Volume : \(x^3\)
Volume du deuxième cube :
- Arête : \(y\)
- Volume : \(y^3\)
Volume total : \[ V_{\text{total}} = x^3 + y^3 \]

Réponse : \[ V_{\text{total}} = x^3 + y^3 \]

Exercice 95 : Périmètre d’un triangle équilatéral

Énoncé :
Exprimez à l’aide d’un monôme ou d’un polynôme le périmètre d’un triangle équilatéral de côté \(x\).

Correction :

Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur. Le périmètre (\(P\)) est la somme des longueurs de ses trois côtés.

Longueur d’un côté : \(x\)
Calcul du périmètre : \[ P = x + x + x = 3x \]

Réponse : \[ P = 3x \]

Exercice 96 : Aire d’un carré de diagonale

Énoncé :
Exprimez à l’aide d’un monôme ou d’un polynôme l’aire d’un carré de diagonale \(d\).

Correction :

Pour trouver l’aire d’un carré à partir de sa diagonale, nous utilisons la relation entre la diagonale (\(d\)) et le côté (\(c\)) du carré.

Relation entre la diagonale et le côté :
Dans un carré, la diagonale forme un triangle rectangle isocèle avec deux côtés égaux. \[ d = c\sqrt{2} \] Donc, \[ c = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2} \]
Calcul de l’aire (\(A\)) :
L’aire d’un carré est égale au carré de son côté. \[ A = c^2 = \left( \frac{d\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2d^2}{4} = \frac{d^2}{2} \]

Réponse : \[ A = \frac{d^2}{2} \]

Exercice 97 : Aire d’un losange avec diagonales données

Énoncé :
Exprimez à l’aide d’un monôme ou d’un polynôme l’aire d’un losange dont la petite diagonale mesure \(d\) et la grande est le triple de la petite.

Correction :

L’aire (\(A\)) d’un losange peut être calculée en utilisant ses diagonales. La formule est : \[ A = \frac{d_1 \times d_2}{2} \] où \(d_1\) et \(d_2\) sont les longueurs des diagonales.

Données :
- Petite diagonale : \(d = d_1\)
- Grande diagonale : \(3d = d_2\)
Calcul de l’aire : \[ A = \frac{d_1 \times d_2}{2} = \frac{d \times 3d}{2} = \frac{3d^2}{2} \]

Réponse : \[ A = \frac{3d^2}{2} \]

Développement et réduction des expressions (Exercices 94 à 97)

Énoncé :
Dans les exercices 94 à 97, développez puis réduisez chacune des expressions.

Correction :

Les expressions des exercices 94 à 97 sont déjà sous leur forme réduite ou développée. Cependant, si nous considérons la généralisation du développement et de la réduction, voici quelques explications :

Développement :
Consiste à écrire une expression algébrique sans parenthèses en multipliant les termes.
Réduction :
Consiste à simplifier une expression en combinant les termes semblables.

Exemple avec l’exercice 94 : \[ V_{\text{total}} = x^3 + y^3 \] - Cette expression est déjà développée et réduite.

Exemple avec l’exercice 95 : \[ P = 3x \] - Cette expression est déjà réduite.

Exemple avec l’exercice 96 : \[ A = \frac{d^2}{2} \] - Cette expression est déjà réduite.

Exemple avec l’exercice 97 : \[ A = \frac{3d^2}{2} \] - Cette expression est déjà réduite.

Conclusion :
Les expressions fournies dans les exercices 94 à 97 sont déjà sous une forme développée et réduite. Aucun développement ou réduction supplémentaire n’est nécessaire.