Exercice 30

Dans chaque cas, quel est le monôme \(M\) manquant ?

1. \(M \cdot x = 2x^{2}\)
2. \(3x^{2} \cdot M = 15x^{5}\)
3. \(5a^{2} \cdot M = a^{6}\)
4. \(2xy \cdot 4x^{2}y \cdot M = -16x^{4}y^{2}\)
5. \(10a^{3}b \cdot M = a^{4}b^{4}\)
6. \(7xy^{2}z^{3} \cdot M = 56x^{3}y^{3}z^{3}\)

Réponse

Réponses :

1. \(M = 2x\)
2. \(M = 5x^{3}\)
3. \(M = \frac{1}{5}a^{4}\)
4. \(M = -2x\)
5. \(M = \frac{1}{10}ab^{3}\)
6. \(M = 8x^{2}y\)

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons résoudre chaque équation pour trouver le monôme \(M\) manquant en suivant les étapes ci-dessous.

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1) \(M \cdot x = 2x^{2}\)

Étapes de résolution :

1. Comprendre l’équation : \[ M \times x = 2x^{2} \] Nous cherchons à isoler \(M\).

2. Isoler \(M\) : \[ M = \frac{2x^{2}}{x} \]

3. Simplifier les puissances de \(x\) : \[ M = 2x^{2-1} = 2x \]

Réponse : \[ M = 2x \]

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2) \(3x^{2} \cdot M = 15x^{5}\)

Étapes de résolution :

1. Comprendre l’équation : \[ 3x^{2} \times M = 15x^{5} \] Nous cherchons à isoler \(M\).

2. Isoler \(M\) : \[ M = \frac{15x^{5}}{3x^{2}} \]

3. Effectuer la division des coefficients et simplifier les puissances de \(x\) : \[ M = 5x^{5-2} = 5x^{3} \]

Réponse : \[ M = 5x^{3} \]

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3) \(5a^{2} \cdot M = a^{6}\)

Étapes de résolution :

1. Comprendre l’équation : \[ 5a^{2} \times M = a^{6} \] Nous cherchons à isoler \(M\).

2. Isoler \(M\) : \[ M = \frac{a^{6}}{5a^{2}} \]

3. Simplifier les puissances de \(a\) : \[ M = \frac{1}{5}a^{6-2} = \frac{1}{5}a^{4} \]

Réponse : \[ M = \frac{1}{5}a^{4} \]

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4) \(2xy \cdot 4x^{2}y \cdot M = -16x^{4}y^{2}\)

Étapes de résolution :

1. Comprendre l’équation : \[ (2xy) \times (4x^{2}y) \times M = -16x^{4}y^{2} \] Nous cherchons à isoler \(M\).

2. Multiplier les deux premiers monômes : \[ 2 \times 4 = 8 \] \[ x \times x^{2} = x^{3} \] \[ y \times y = y^{2} \] Donc : \[ 8x^{3}y^{2} \times M = -16x^{4}y^{2} \]

3. Isoler \(M\) : \[ M = \frac{-16x^{4}y^{2}}{8x^{3}y^{2}} \]

4. Simplifier les coefficients et les puissances : \[ M = -2x^{4-3}y^{2-2} = -2x \]

Réponse : \[ M = -2x \]

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5) \(10a^{3}b \cdot M = a^{4}b^{4}\)

Étapes de résolution :

1. Comprendre l’équation : \[ 10a^{3}b \times M = a^{4}b^{4} \] Nous cherchons à isoler \(M\).

2. Isoler \(M\) : \[ M = \frac{a^{4}b^{4}}{10a^{3}b} \]

3. Simplifier les puissances de \(a\) et \(b\) : \[ M = \frac{1}{10}a^{4-3}b^{4-1} = \frac{1}{10}ab^{3} \]

Réponse : \[ M = \frac{1}{10}ab^{3} \]

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6) \(7xy^{2}z^{3} \cdot M = 56x^{3}y^{3}z^{3}\)

Étapes de résolution :

1. Comprendre l’équation : \[ 7xy^{2}z^{3} \times M = 56x^{3}y^{3}z^{3} \] Nous cherchons à isoler \(M\).

2. Isoler \(M\) : \[ M = \frac{56x^{3}y^{3}z^{3}}{7xy^{2}z^{3}} \]

3. Simplifier les coefficients et les puissances de chaque variable : \[ \frac{56}{7} = 8 \] \[ x^{3} / x = x^{2} \] \[ y^{3} / y^{2} = y \] \[ z^{3} / z^{3} = 1 \] Donc : \[ M = 8x^{2}y \]

Réponse : \[ M = 8x^{2}y \]

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