Réduire chacune des expressions suivantes :
\(\left(2x^{2}y\right)^{2} - \dfrac{3xy}{x^{3}y}\)
\(5a - (-2a + 1) + 3a\)
\(\dfrac{a^{3}b^{2}c}{a^{2}b} - 2abc\)
\(\left(2x + x - 5x\right)^{2}\)
\(-a^{2} - a \cdot a + 2a^{2}b - b\)
\(0,3x \cdot (2x + x) + (x + 5x) \cdot 0,1x\)
Résumé des corrections :
Expression à réduire : \[ \left(2x^{2}y\right)^{2} - \dfrac{3xy}{x^{3}y} \]
Étape 1 : Développer la première partie de l’expression
\[ \left(2x^{2}y\right)^{2} = (2)^{2} \cdot (x^{2})^{2} \cdot y^{2} = 4x^{4}y^{2} \]
Étape 2 : Simplifier la deuxième partie de l’expression
\[ \dfrac{3xy}{x^{3}y} = \dfrac{3}{x^{2}} \quad \text{(En simplifiant les puissances de } x \text{ et } y) \]
Étape 3 : Soustraire les deux parties obtenues
\[ 4x^{4}y^{2} - \dfrac{3}{x^{2}} = 4x^{4}y^{2} - 3x^{-2} \]
Résultat simplifié : \[ 4x^{4}y^{2} - \dfrac{3}{x^{2}} \]
Expression à réduire : \[ 5a - (-2a + 1) + 3a \]
Étape 1 : Distribuer le signe négatif à l’intérieur des parenthèses
\[ 5a - (-2a + 1) = 5a + 2a - 1 \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires
\[ 5a + 2a + 3a - 1 = (5a + 2a + 3a) - 1 = 10a - 1 \]
Résultat simplifié : \[ 10a - 1 \]
Expression à réduire : \[ \dfrac{a^{3}b^{2}c}{a^{2}b} - 2abc \]
Étape 1 : Simplifier la fraction
\[ \dfrac{a^{3}b^{2}c}{a^{2}b} = a^{3-2}b^{2-1}c = ab \cdot c = abc \]
Étape 2 : Soustraire le deuxième terme
\[ abc - 2abc = (1 - 2)abc = -abc \]
Résultat simplifié : \[ -abc \]
Expression à réduire : \[ \left(2x + x - 5x\right)^{2} \]
Étape 1 : Simplifier l’expression à l’intérieur des parenthèses
\[ 2x + x - 5x = (2 + 1 - 5)x = (-2)x = -2x \]
Étape 2 : Élever le résultat au carré
\[ (-2x)^{2} = (-2)^{2} \cdot x^{2} = 4x^{2} \]
Résultat simplifié : \[ 4x^{2} \]
Expression à réduire : \[ -a^{2} - a \cdot a + 2a^{2}b - b \]
Étape 1 : Simplifier les termes similaires
\[ -a^{2} - a \cdot a = -a^{2} - a^{2} = -2a^{2} \]
Étape 2 : Regrouper avec les autres termes
\[ -2a^{2} + 2a^{2}b - b \]
Étape 3 : Factoriser si possible
\[ -2a^{2}(1 - b) - b \]
Résultat simplifié : \[ -2a^{2} + 2a^{2}b - b \]
Note : Il n’est pas possible de factoriser davantage cette expression de manière significative.
Expression à réduire : \[ 0,3x \cdot (2x + x) + (x + 5x) \cdot 0,1x \]
Étape 1 : Simplifier les expressions à l’intérieur des parenthèses
\[ 2x + x = 3x \quad \text{et} \quad x + 5x = 6x \]
Étape 2 : Effectuer les multiplications
\[ 0,3x \cdot 3x = 0,3 \cdot 3 \cdot x \cdot x = 0,9x^{2} \] \[ 6x \cdot 0,1x = 6 \cdot 0,1 \cdot x \cdot x = 0,6x^{2} \]
Étape 3 : Additionner les deux résultats
\[ 0,9x^{2} + 0,6x^{2} = (0,9 + 0,6)x^{2} = 1,5x^{2} \]
Résultat simplifié : \[ 1,5x^{2} \]