Indiquer pourquoi chacune des identités suivantes est vraie :
Toutes les identités sont vérifiées en appliquant les propriétés fondamentales de l’algèbre : associativité, commutativité et distributivité de l’addition et de la multiplication. Ces propriétés permettent de réarranger et de distribuer les termes de manière à confirmer l’égalité des deux côtés de chaque équation.
Nous allons examiner chacune des identités proposées et expliquer pourquoi elles sont vraies en utilisant les propriétés des opérations mathématiques.
Propriété utilisée : Associativité de la multiplication.
Explication :
La propriété associative de la multiplication stipule que la façon dont les facteurs sont regroupés n’affecte pas le produit. Autrement dit, pour tous nombres \(a, b, c\) :
\[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \]
Appliquons cette propriété à l’identité donnée :
\[ (2 \cdot (x + y)) \cdot c = 2 \cdot ((x + y) \cdot c) \]
Ici, \(a = 2\), \(b = (x + y)\), et \(c = c\). Le regroupement des facteurs peut être changé sans modifier le résultat, ce qui rend l’identité vraie.
Propriété utilisée : Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.
Explication :
La distributivité permet de distribuer un facteur commun sur une somme ou une différence. Pour tous nombres \(p, q, r\) :
\[ p \cdot (q + r) = p \cdot q + p \cdot r \]
Appliquons cette propriété à l’identité donnée :
\[ (a + b) \cdot (x + y) = (a + b) \cdot x + (a + b) \cdot y \]
On distribue \((a + b)\) sur \(x\) et \(y\), ce qui donne la somme des produits, confirmant ainsi que l’identité est vraie.
Propriété utilisée : Commutativité de la multiplication.
Explication :
La propriété commutative de la multiplication affirme que l’ordre des facteurs n’affecte pas le produit. Pour tous nombres \(m\) et \(n\) :
\[ m \cdot n = n \cdot m \]
Appliquons cette propriété à l’identité donnée :
\[ (2a \cdot (a + b)) \cdot b = b \cdot (2a \cdot (a + b)) \]
En réarrangeant les facteurs, on voit que les deux côtés de l’équation sont égaux, ce qui confirme que l’identité est vraie.
Propriété utilisée : Associativité de l’addition.
Explication :
La propriété associative de l’addition indique que la manière dont les termes sont regroupés n’affecte pas la somme. Pour tous nombres \(s, t, u\) :
\[ (s + t) + u = s + (t + u) \]
Appliquons cette propriété à l’identité donnée :
\[ ((x + y) + 2 \cdot (x + y)) + 3 \cdot (x + y) = (x + y) + (2 \cdot (x + y) + 3 \cdot (x + y)) \]
On regroupe les termes différemment, mais la somme reste la même des deux côtés de l’équation, ce qui montre que l’identité est vraie.
Propriété utilisée : Commutativité de l’addition.
Explication :
La propriété commutative de l’addition stipule que l’ordre des termes dans une somme ne change pas le résultat. Pour tous nombres \(d\) et \(e\) :
\[ d + e = e + d \]
Appliquons cette propriété à l’identité donnée :
\[ (a + b) \cdot (2c + 3 \cdot (x + y)) = (a + b) \cdot (3 \cdot (x + y) + 2c) \]
En réarrangeant les termes à l’intérieur des parenthèses grâce à la commutativité, les deux expressions deviennent identiques, confirmant que l’identité est vraie.
Propriété utilisée : Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.
Explication :
Comme précédemment, la distributivité permet de distribuer un facteur sur une somme. Pour tous nombres \(f, g, h\) :
\[ f \cdot (g + h) = f \cdot g + f \cdot h \]
Appliquons cette propriété à l’identité donnée :
\[ (x - y) \cdot ((x + y) + 2x) = (x - y) \cdot (x + y) + (x - y) \cdot 2x \]
On distribue \((x - y)\) sur \((x + y)\) et \(2x\), ce qui donne la somme des deux produits. Ainsi, l’identité est vérifiée.
Ces identités sont toutes basées sur les propriétés fondamentales de l’addition et de la multiplication en algèbre, telles que la commutativité, l’associativité et la distributivité. Comprendre et appliquer ces propriétés permet de manipuler les expressions algébriques de manière efficace et correcte.