Résoudre les équations littérales suivantes (x est l’inconnue) :
\((a + b) \cdot (x + 1) = 3a - bx\)
\((x - a) \cdot (x - b) - x \cdot (x - 2a) = a^{2}\)
\((a + bx) \cdot (bx + b) = a \cdot (b + 1) + b \cdot \left(1 + bx^{2}\right)\)
\(x \cdot (a + b)^{2} - b \cdot (x + a)^{2} = bx \cdot (2b - x) + ab^{2}\)
\((x - a) \cdot (x + b) + a \cdot (a + b) = (x + a)^{2} - a \cdot (2x - 1)\)
\((x + a) \cdot (x - a) - 2b \cdot (b - x) = (x + a)^{2}\)
Résumé des réponses :
\(x = \frac{2a - b}{a + 2b}\)
\(x = a\) (si \(a \neq b\)) ; toute valeur de \(x\) est solution si \(a = b\)
\(x = \frac{1}{b}\) (si \(a + b \neq 0\))
\(x = \frac{a b}{a - b}\) (si \(a \neq b\))
\(x = \frac{a}{b - a}\) (si \(a \neq b\))
\(x = \frac{a^2 + b^2}{b - a}\) (si \(a \neq b\))
Étape 1 : Développer les deux côtés de l’équation
Développons le membre de gauche :
\[ (a + b)(x + 1) = a \cdot x + a \cdot 1 + b \cdot x + b \cdot 1 = a x + a + b x + b = (a + b)x + (a + b) \]
Le membre de droite reste inchangé :
\[ 3a - b x \]
L’équation devient donc :
\[ (a + b)x + (a + b) = 3a - b x \]
Étape 2 : Rassembler les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre
Ajoutons \(b x\) des deux côtés pour regrouper les termes en \(x\) :
\[ (a + b)x + b x + (a + b) = 3a \] \[ (a + 2b)x + (a + b) = 3a \]
Soustrayons \((a + b)\) des deux côtés :
\[ (a + 2b)x = 3a - (a + b) = 2a - b \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Divisons les deux côtés par \((a + 2b)\) :
\[ x = \frac{2a - b}{a + 2b} \]
Réponse :
\[ x = \frac{2a - b}{a + 2b} \]
Étape 1 : Développer les termes
Développons chaque produit :
\[ (x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + a b \] \[ x(x - 2a) = x^2 - 2a x \]
Remplaçons dans l’équation :
\[ (x^2 - (a + b)x + a b) - (x^2 - 2a x) = a^{2} \]
Étape 2 : Simplifier l’équation
Distribuons le signe négatif :
\[ x^2 - (a + b)x + a b - x^2 + 2a x = a^2 \] \[ (a - b)x + a b = a^2 \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Soustrayons \(a b\) des deux côtés :
\[ (a - b)x = a^2 - a b \]
Divisons par \((a - b)\) :
\[ x = \frac{a^2 - a b}{a - b} = a \]
Remarque :
Si \(a = b\), l’équation initiale devient une identité vraie pour tout \(x\).
Réponse :
\[ x = a \quad \text{(si \(a \neq b\))} \\ \text{Toute valeur de \(x\) est solution si \(a = b\)} \]
Étape 1 : Développer les deux côtés de l’équation
Développons le membre de gauche :
\[ (a + b x)(b x + b) = a b x + a b + b^2 x^2 + b^2 x = b^2 x^2 + (a b + b^2)x + a b \]
Développons le membre de droite :
\[ a(b + 1) + b(1 + b x^{2}) = a b + a + b + b^2 x^2 = b^2 x^2 + a b + a + b \]
L’équation devient :
\[ b^2 x^2 + (a b + b^2)x + a b = b^2 x^2 + a b + a + b \]
Étape 2 : Simplifier l’équation
Soustrayons \(b^2 x^2 + a b\) des deux côtés :
\[ (a b + b^2)x = a + b \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Factorisons \(x\) :
\[ x(b(a + b)) = a + b \]
Divisons par \(b(a + b)\) (si \(a + b \neq 0\)) :
\[ x = \frac{1}{b} \]
Réponse :
\[ x = \frac{1}{b} \quad \text{(si \(a + b \neq 0\))} \]
Étape 1 : Développer les termes de l’équation
Développons chaque produit :
\[ x(a + b)^2 = x(a^2 + 2ab + b^2) = a^2 x + 2ab x + b^2 x \] \[ -b(x + a)^2 = -b(x^2 + 2a x + a^2) = -b x^2 - 2ab x - b a^2 \] \[ b x (2b - x) = 2b^2 x - b x^2 \]
Remplaçons dans l’équation :
\[ (a^2 x + 2ab x + b^2 x) - (b x^2 + 2ab x + b a^2) = 2b^2 x - b x^2 + a b^2 \]
Simplifions :
\[ a^2 x + b^2 x - b x^2 - b a^2 = 2b^2 x - b x^2 + a b^2 \]
Étape 2 : Rassembler tous les termes du même côté
Déplaçons tous les termes vers la gauche :
\[ a^2 x + b^2 x - b x^2 - b a^2 - 2b^2 x + b x^2 - a b^2 = 0 \]
Simplifions :
\[ (a^2 - b^2)x - a b^2 - b a^2 = 0 \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Factorisons :
\[ x(a^2 - b^2) = a b^2 + b a^2 \] \[ x(a^2 - b^2) = a b(a + b) \]
Sachant que \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\), on obtient :
\[ x(a - b)(a + b) = a b(a + b) \]
Divisons par \((a + b)\) (si \(a + b \neq 0\)) :
\[ x(a - b) = a b \]
Finalement :
\[ x = \frac{a b}{a - b} \]
Réponse :
\[ x = \frac{a b}{a - b} \quad \text{(si \(a \neq b\))} \]
Étape 1 : Développer les termes de l’équation
Développons chaque produit :
\[ (x - a)(x + b) = x^2 + b x - a x - a b = x^2 + (b - a)x - a b \] \[ a(a + b) = a^2 + a b \] \[ (x + a)^2 = x^2 + 2a x + a^2 \] \[ - a(2x - 1) = -2a x + a \]
Remplaçons dans l’équation :
\[ (x^2 + (b - a)x - a b) + (a^2 + a b) = (x^2 + 2a x + a^2) + (-2a x + a) \]
Simplifions :
\[ x^2 + (b - a)x - a b + a^2 + a b = x^2 + a^2 + a \] \[ x^2 + (b - a)x + a^2 = x^2 + a^2 + a \]
Étape 2 : Simplifier l’équation
Soustrayons \(x^2 + a^2\) des deux côtés :
\[ (b - a)x = a \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Divisons par \((b - a)\) :
\[ x = \frac{a}{b - a} \quad \text{(si \(a \neq b\))} \]
Réponse :
\[ x = \frac{a}{b - a} \quad \text{(si \(a \neq b\))} \]
Étape 1 : Développer les termes de l’équation
Développons chaque produit :
\[ (x + a)(x - a) = x^2 - a^2 \] \[ -2b(b - x) = -2b^2 + 2b x \] \[ (x + a)^2 = x^2 + 2a x + a^2 \]
Remplaçons dans l’équation :
\[ (x^2 - a^2) - 2b^2 + 2b x = x^2 + 2a x + a^2 \]
Étape 2 : Simplifier l’équation
Soustrayons \(x^2\) des deux côtés :
\[ - a^2 - 2b^2 + 2b x = 2a x + a^2 \]
Déplaçons tous les termes vers la gauche :
\[ -2a^2 - 2b^2 + 2b x - 2a x = 0 \]
Factorisons :
\[ 2x(b - a) - 2(a^2 + b^2) = 0 \]
Divisons par 2 :
\[ x(b - a) - (a^2 + b^2) = 0 \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Réarrangeons l’équation :
\[ x(b - a) = a^2 + b^2 \]
Divisons par \((b - a)\) :
\[ x = \frac{a^2 + b^2}{b - a} \quad \text{(si \(a \neq b\))} \]
Réponse :
\[ x = \frac{a^2 + b^2}{b - a} \quad \text{(si \(a \neq b\))} \]