Réduire :
\(\frac{2 \cdot(2 a - b)}{3} - \frac{3 \cdot(5 a - 2 b)}{5}\)
\(\left(-\frac{a^{4} b^{2} c^{0}}{4}\right)^{2}\)
\(\frac{1}{2} c^{2} - \left(3 c - \left(\frac{1}{2} c + 3\right) \cdot c\right)\)
\((x - 3) \cdot (x - 3) \cdot (x + 3)\)
\(x^{2} - (x - 1) \cdot (2 x + 1)\)
\(\frac{3}{2} x^{2} y \cdot\left(\frac{4}{5} x y^{4} - \frac{10}{21} x^{3} y^{2}\right)\)
Résumé des solutions :
Exercice 1 : \[ \boxed{\frac{8b - 25a}{15}} \]
Exercice 2 : \[ \boxed{\frac{a^{8} b^{4}}{16}} \]
Exercice 3 : \[ \boxed{c^{2}} \]
Exercice 4 : \[ \boxed{x^{3} - 3x^{2} - 9x + 27} \]
Exercice 5 : \[ \boxed{-x^{2} + x + 1} \]
Exercice 6 : \[ \boxed{\frac{6}{5} x^{3} y^{5} - \frac{5}{7} x^{5} y^{3}} \]
Question : Réduire : \[ \frac{2 \cdot(2 a - b)}{3} - \frac{3 \cdot(5 a - 2 b)}{5} \]
Solution :
Développer chaque terme : \[ \frac{2(2a - b)}{3} = \frac{4a - 2b}{3} \] \[ \frac{3(5a - 2b)}{5} = \frac{15a - 6b}{5} \]
Écrire l’expression initiale avec les développements : \[ \frac{4a - 2b}{3} - \frac{15a - 6b}{5} \]
Trouver un dénominateur commun : Les dénominateurs sont 3 et 5. Le plus petit multiple commun est 15.
Transformer chaque fraction pour avoir le dénominateur commun : \[ \frac{4a - 2b}{3} = \frac{(4a - 2b) \times 5}{15} = \frac{20a - 10b}{15} \] \[ \frac{15a - 6b}{5} = \frac{(15a - 6b) \times 3}{15} = \frac{45a - 18b}{15} \]
Soustraire les deux fractions : \[ \frac{20a - 10b}{15} - \frac{45a - 18b}{15} = \frac{(20a - 10b) - (45a - 18b)}{15} \] \[ = \frac{20a - 10b - 45a + 18b}{15} \] \[ = \frac{-25a + 8b}{15} \]
Simplifier l’expression obtenue : \[ \frac{-25a + 8b}{15} = \boxed{\frac{8b - 25a}{15}} \]
Question : Réduire : \[ \left(-\frac{a^{4} b^{2} c^{0}}{4}\right)^{2} \]
Solution :
Simplifier l’exposant : \[ c^{0} = 1 \quad (\text{car tout nombre élevé à la puissance 0 est égal à 1}) \] Donc, l’expression devient : \[ \left(-\frac{a^{4} b^{2} \times 1}{4}\right)^{2} = \left(-\frac{a^{4} b^{2}}{4}\right)^{2} \]
Appliquer la propriété de l’exposant : \[ \left(\frac{m}{n}\right)^{2} = \frac{m^{2}}{n^{2}} \] et \[ (-x)^{2} = x^{2} \] Ainsi : \[ \left(-\frac{a^{4} b^{2}}{4}\right)^{2} = \left(\frac{a^{4} b^{2}}{4}\right)^{2} = \frac{(a^{4} b^{2})^{2}}{4^{2}} \]
Calculer les puissances : \[ (a^{4})^{2} = a^{8} \] \[ (b^{2})^{2} = b^{4} \] \[ 4^{2} = 16 \]
Assembler le tout : \[ \frac{a^{8} b^{4}}{16} \]
Résultat simplifié : \[ \boxed{\frac{a^{8} b^{4}}{16}} \]
Question : Réduire : \[ \frac{1}{2} c^{2} - \left(3 c - \left(\frac{1}{2} c + 3\right) \cdot c\right) \]
Solution :
Développer l’expression à l’intérieur des parenthèses : \[ \left(\frac{1}{2} c + 3\right) \cdot c = \frac{1}{2} c \times c + 3 \times c = \frac{1}{2} c^{2} + 3c \]
Substituer dans l’expression principale : \[ \frac{1}{2} c^{2} - \left(3c - \left(\frac{1}{2} c^{2} + 3c\right)\right) \]
Simplifier l’intérieur des parenthèses : \[ 3c - \left(\frac{1}{2} c^{2} + 3c\right) = 3c - \frac{1}{2} c^{2} - 3c = -\frac{1}{2} c^{2} \]
Substituer cette simplification : \[ \frac{1}{2} c^{2} - \left(-\frac{1}{2} c^{2}\right) = \frac{1}{2} c^{2} + \frac{1}{2} c^{2} = c^{2} \]
Résultat simplifié : \[ \boxed{c^{2}} \]
Question : Réduire : \[ (x - 3) \cdot (x - 3) \cdot (x + 3) \]
Solution :
Reconnaître que \((x - 3)\) est au carré : \[ (x - 3) \cdot (x - 3) = (x - 3)^{2} \]
Développer \((x - 3)^{2}\) : \[ (x - 3)^{2} = x^{2} - 6x + 9 \]
Multiplier par \((x + 3)\) : \[ (x^{2} - 6x + 9)(x + 3) \]
Appliquer la distributivité (chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second) : \[ x^{2} \times x = x^{3} \] \[ x^{2} \times 3 = 3x^{2} \] \[ -6x \times x = -6x^{2} \] \[ -6x \times 3 = -18x \] \[ 9 \times x = 9x \] \[ 9 \times 3 = 27 \]
Assembler tous les termes : \[ x^{3} + 3x^{2} - 6x^{2} - 18x + 9x + 27 \]
Combiner les termes semblables : \[ x^{3} + (3x^{2} - 6x^{2}) + (-18x + 9x) + 27 = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 27 \]
Résultat simplifié : \[ \boxed{x^{3} - 3x^{2} - 9x + 27} \]
Question : Réduire : \[ x^{2} - (x - 1) \cdot (2 x + 1) \]
Solution :
Développer le produit \((x - 1)(2x + 1)\) : \[ (x - 1)(2x + 1) = x \times 2x + x \times 1 - 1 \times 2x - 1 \times 1 \] \[ = 2x^{2} + x - 2x - 1 \] \[ = 2x^{2} - x - 1 \]
Substituer dans l’expression initiale : \[ x^{2} - (2x^{2} - x - 1) \]
Distribuer le signe négatif : \[ x^{2} - 2x^{2} + x + 1 \]
Combiner les termes semblables : \[ (x^{2} - 2x^{2}) + x + 1 = -x^{2} + x + 1 \]
Résultat simplifié : \[ \boxed{-x^{2} + x + 1} \]
Question : Réduire : \[ \frac{3}{2} x^{2} y \cdot\left(\frac{4}{5} x y^{4} - \frac{10}{21} x^{3} y^{2}\right) \]
Solution :
Distribuer \(\frac{3}{2} x^{2} y\) dans l’expression parenthèse : \[ \frac{3}{2} x^{2} y \times \frac{4}{5} x y^{4} - \frac{3}{2} x^{2} y \times \frac{10}{21} x^{3} y^{2} \]
Calculer chaque produit séparément :
Premier terme : \[ \frac{3}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} \] \[ x^{2} \times x = x^{3} \] \[ y \times y^{4} = y^{5} \] Donc : \[ \frac{6}{5} x^{3} y^{5} \]
Deuxième terme : \[ \frac{3}{2} \times \frac{10}{21} = \frac{30}{42} = \frac{5}{7} \] \[ x^{2} \times x^{3} = x^{5} \] \[ y \times y^{2} = y^{3} \] Donc : \[ \frac{5}{7} x^{5} y^{3} \]
Assembler les deux termes : \[ \frac{6}{5} x^{3} y^{5} - \frac{5}{7} x^{5} y^{3} \]
Résultat simplifié : \[ \boxed{\frac{6}{5} x^{3} y^{5} - \frac{5}{7} x^{5} y^{3}} \]