Simplifiez les expressions suivantes :
Réponses finales des exercices :
Exercice 1 : \[ \left(-0,3 x^{4} y\right)^{3} = -0,027 \, x^{12} \, y^{3} \]
Exercice 2 : \[ 2a - (-5a + 2b - (-3a - (a - b) - 2a)) + b = a \]
Exercice 3 : \[ (3a - 2b) \cdot 4 - 5 \cdot (5a - b) = -13a - 3b \]
Exercice 4 : \[ (2x - 3y)(x - 2y) - (-x + y)(3x - 2y) = 5x^{2} - 12xy + 8y^{2} \]
Exercice 5 : \[ 3x^{2}y - 7x(2xy - 3y^{2}) - 2xy^{2} = -11x^{2}y + 19xy^{2} \]
Exercice 6 : \[ \frac{2a - b}{4} - \frac{5a + b}{2} = -\frac{8a + 3b}{4} \quad \text{ou} \quad -2a - \frac{3b}{4} \]
Pour simplifier cette expression, nous allons appliquer la propriété des puissances à un produit.
Appliquer la puissance à chaque facteur :
\[ \left(-0,3 x^{4} y\right)^{3} = (-0,3)^{3} \cdot (x^{4})^{3} \cdot (y)^{3} \]
Calculer chaque terme :
Calculons \((-0,3)^{3}\) :
\[ (-0,3)^{3} = -0,3 \times -0,3 \times -0,3 = -0,027 \]
Calculons \((x^{4})^{3}\) en utilisant la propriété \((a^{m})^{n} = a^{m \times n}\) :
\[ (x^{4})^{3} = x^{12} \]
Calculons \((y)^{3}\) :
\[ y^{3} \]
Assembler les résultats :
\[ \left(-0,3 x^{4} y\right)^{3} = -0,027 \, x^{12} \, y^{3} \]
Réponse finale :
\[ \left(-0,3 x^{4} y\right)^{3} = -0,027 \, x^{12} \, y^{3} \]
Pour simplifier cette expression, nous allons éliminer les parenthèses en faisant attention aux signes négatifs.
Développer les parenthèses internes :
\[ -(-3 a - (a - b) - 2 a) = 3a + (a - b) + 2a \]
Car le signe moins change les signes des termes à l’intérieur.
Simplifier l’expression originale en remplaçant:
\[ 2a - (-5a + 2b + 3a + a - b + 2a) + b \]
Regrouper les termes similaires à l’intérieur des parenthèses :
\[ -5a + 3a + a + 2a = ( -5 + 3 + 1 + 2 )a = 1a = a \]
\[ 2b - b = b \]
Donc, l’expression devient :
\[ 2a - (a + b) + b \]
Éliminer les parenthèses :
\[ 2a - a - b + b \]
Simplifier en regroupant les termes similaires :
\[ (2a - a) + (-b + b) = a + 0 = a \]
Réponse finale :
\[ 2 a - (-5 a + 2 b - (-3 a - (a - b) - 2 a)) + b = a \]
Pour simplifier cette expression, nous allons utiliser la distributivité.
Appliquer la distributivité :
\[ (3a - 2b) \cdot 4 = 12a - 8b \]
\[ -5 \cdot (5a - b) = -25a + 5b \]
Assembler les résultats :
\[ 12a - 8b - 25a + 5b \]
Regrouper les termes similaires :
Les termes en \(a\) :
\[ 12a - 25a = -13a \]
Les termes en \(b\) :
\[ -8b + 5b = -3b \]
Écrire l’expression simplifiée :
\[ -13a - 3b \]
Réponse finale :
\[ (3 a - 2 b) \cdot 4 - 5 \cdot (5 a - b) = -13a - 3b \]
Pour simplifier cette expression, nous allons développer chaque produit et ensuite regrouper les termes similaires.
Développer chaque produit :
\[ (2x - 3y)(x - 2y) = 2x \cdot x + 2x \cdot (-2y) - 3y \cdot x - 3y \cdot (-2y) = 2x^{2} -4xy -3xy +6y^{2} = 2x^{2} -7xy +6y^{2} \]
\[ (-x + y)(3x - 2y) = (-x) \cdot 3x + (-x) \cdot (-2y) + y \cdot 3x + y \cdot (-2y) = -3x^{2} +2xy +3xy -2y^{2} = -3x^{2} +5xy -2y^{2} \]
Comme il y a un signe moins devant le deuxième produit, on change les signes :
\[ - (-3x^{2} +5xy -2y^{2}) = 3x^{2} -5xy +2y^{2} \]
Assembler les résultats :
\[ 2x^{2} -7xy +6y^{2} +3x^{2} -5xy +2y^{2} \]
Regrouper les termes similaires :
Les termes en \(x^{2}\) :
\[ 2x^{2} +3x^{2} = 5x^{2} \]
Les termes en \(xy\) :
\[ -7xy -5xy = -12xy \]
Les termes en \(y^{2}\) :
\[ 6y^{2} +2y^{2} = 8y^{2} \]
Écrire l’expression simplifiée :
\[ 5x^{2} -12xy +8y^{2} \]
Réponse finale :
\[ (2 x - 3 y) \cdot (x - 2 y) - (-x + y) \cdot (3 x - 2 y) = 5x^{2} -12xy +8y^{2} \]
Pour simplifier cette expression, nous allons développer les parenthèses et regrouper les termes similaires.
Développer le produit :
\[ -7x \cdot (2xy - 3y^{2}) = -7x \cdot 2xy + (-7x) \cdot (-3y^{2}) = -14x^{2}y +21xy^{2} \]
Remplacer dans l’expression initiale :
\[ 3x^{2}y -14x^{2}y +21xy^{2} -2xy^{2} \]
Regrouper les termes similaires :
Les termes en \(x^{2}y\) :
\[ 3x^{2}y -14x^{2}y = -11x^{2}y \]
Les termes en \(xy^{2}\) :
\[ 21xy^{2} -2xy^{2} = 19xy^{2} \]
Écrire l’expression simplifiée :
\[ -11x^{2}y +19xy^{2} \]
Réponse finale :
\[ 3 x^{2} y - 7 x \cdot \left(2 x y - 3 y^{2}\right) - 2 x y^{2} = -11x^{2}y +19xy^{2} \]
Pour simplifier cette expression, nous allons trouver un dénominateur commun et combiner les fractions.
Identifier les dénominateurs :
Les dénominateurs sont \(4\) et \(2\). Le plus petit commun multiple est \(4\).
Convertir les fractions pour qu’elles aient le même dénominateur :
\[ \frac{2a - b}{4} - \frac{5a + b}{2} = \frac{2a - b}{4} - \frac{2(5a + b)}{4} = \frac{2a - b -10a -2b}{4} \]
Simplifier le numérateur :
\[ 2a -10a -b -2b = -8a -3b \]
Écrire l’expression simplifiée :
\[ \frac{-8a -3b}{4} \]
Cette expression peut aussi être écrite comme :
\[ -\frac{8a +3b}{4} \]
Factoriser si nécessaire (facultatif) :
On peut factoriser le numérateur par \(-1\) :
\[ -\frac{8a +3b}{4} = -2a - \frac{3b}{4} \]
Réponse finale :
\[ \frac{2 a - b}{4} - \frac{5 a + b}{2} = -\frac{8a +3b}{4} \quad \text{ou} \quad -2a - \frac{3b}{4} \]