Réduire :
\(\frac{2}{3} z^{2} - \left(3 z - \left(\frac{1}{3} z - \frac{2}{3}\right) \cdot z + z^{2}\right)\)
\(\left(2 x^{2} z\right)^{2} - \left(2 x^{3} - 1\right) \cdot \left(3 x z^{2} - x^{4} z^{2}\right)\)
\((2 a - b) \cdot a - b a\)
\(2 a - b \cdot a - b a\)
\(\frac{3 x - 3}{2} - \frac{x + 2}{3}\)
\(\frac{3}{14} \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{7}{9} \cdot \sqrt{x}\)
Exercice 1 : \[- \frac{11}{3} z\]
Exercice 2 : \[2 x^{7} z^{2} - 3 x^{4} z^{2} + 3 x z^{2}\]
Exercice 3 : \[2 a^{2} - 2 a b\]
Exercice 4 : \[2 a - 2 a b\]
Exercice 5 : \[\frac{7 x - 13}{6}\]
Exercice 6 : \[\frac{x}{6}\]
Réduire :
\[\frac{2}{3} z^{2} - \left(3 z - \left(\frac{1}{3} z - \frac{2}{3}\right) \cdot z + z^{2}\right)\]
Étape 1 : Développer l’expression à l’intérieur des parenthèses
Commencez par calculer le produit à l’intérieur des parenthèses :
\[\left(\frac{1}{3} z - \frac{2}{3}\right) \cdot z = \frac{1}{3} z \cdot z - \frac{2}{3} \cdot z = \frac{1}{3} z^{2} - \frac{2}{3} z\]
Étape 2 : Substituer ce résultat dans l’expression initiale
Remplacez le produit développé dans l’expression originale :
\[\frac{2}{3} z^{2} - \left(3 z - \left(\frac{1}{3} z^{2} - \frac{2}{3} z\right) + z^{2}\right)\]
Étape 3 : Simplifier l’expression à l’intérieur des parenthèses
Distribuez les signes et combinez les termes semblables :
\[3 z - \frac{1}{3} z^{2} + \frac{2}{3} z + z^{2}\]
Étape 4 : Regrouper les termes similaires
Termes en \(z^{2}\) :
\[- \frac{1}{3} z^{2} + z^{2} = \frac{2}{3} z^{2}\]
Termes en \(z\) :
\[3 z + \frac{2}{3} z = \frac{11}{3} z\]
L’expression à l’intérieur des parenthèses devient donc :
\[\frac{2}{3} z^{2} + \frac{11}{3} z\]
Étape 5 : Remettre cette expression dans l’expression initiale
\[\frac{2}{3} z^{2} - \left(\frac{2}{3} z^{2} + \frac{11}{3} z\right)\]
Étape 6 : Distribuer le signe négatif
Enlevez les parenthèses en changeant les signes des termes à l’intérieur :
\[\frac{2}{3} z^{2} - \frac{2}{3} z^{2} - \frac{11}{3} z\]
Étape 7 : Combiner les termes similaires
Termes en \(z^{2}\) :
\[\frac{2}{3} z^{2} - \frac{2}{3} z^{2} = 0\]
Il reste donc :
\[- \frac{11}{3} z\]
Réponse finale :
\[- \frac{11}{3} z\]
Réduire :
\[\left(2 x^{2} z\right)^{2} - \left(2 x^{3} - 1\right) \cdot \left(3 x z^{2} - x^{4} z^{2}\right)\]
Étape 1 : Développer \(\left(2 x^{2} z\right)^{2}\)
Élevez chaque facteur au carré :
\[\left(2 x^{2} z\right)^{2} = 2^{2} \cdot \left(x^{2}\right)^{2} \cdot z^{2} = 4 x^{4} z^{2}\]
Étape 2 : Développer le produit \(\left(2 x^{3} - 1\right) \cdot \left(3 x z^{2} - x^{4} z^{2}\right)\)
Utilisez la distributivité pour multiplier les binômes :
\[ \begin{align*} (2 x^{3} - 1)(3 x z^{2} - x^{4} z^{2}) &= 2 x^{3} \cdot 3 x z^{2} + 2 x^{3} \cdot (-x^{4} z^{2}) \\ &\quad -1 \cdot 3 x z^{2} -1 \cdot (-x^{4} z^{2}) \\ &= 6 x^{4} z^{2} - 2 x^{7} z^{2} - 3 x z^{2} + x^{4} z^{2} \\ &= (6 x^{4} z^{2} + x^{4} z^{2}) - 2 x^{7} z^{2} - 3 x z^{2} \\ &= 7 x^{4} z^{2} - 2 x^{7} z^{2} - 3 x z^{2} \end{align*} \]
Étape 3 : Soustraire les deux expressions obtenues
\[4 x^{4} z^{2} - \left(7 x^{4} z^{2} - 2 x^{7} z^{2} - 3 x z^{2}\right)\]
Distribuez le signe négatif :
\[4 x^{4} z^{2} - 7 x^{4} z^{2} + 2 x^{7} z^{2} + 3 x z^{2}\]
Étape 4 : Combiner les termes similaires
Termes en \(x^{4} z^{2}\) :
\[4 x^{4} z^{2} - 7 x^{4} z^{2} = -3 x^{4} z^{2}\]
Les autres termes restent inchangés. Donc :
\[-3 x^{4} z^{2} + 2 x^{7} z^{2} + 3 x z^{2}\]
Réponse finale :
\[2 x^{7} z^{2} - 3 x^{4} z^{2} + 3 x z^{2}\]
Réduire :
\[(2 a - b) \cdot a - b a\]
Étape 1 : Développer le produit \((2 a - b) \cdot a\)
Distribuez \(a\) à chaque terme du binôme :
\[2 a \cdot a - b \cdot a = 2 a^{2} - a b\]
Étape 2 : Soustraire \(b a\) de l’expression développée
\[2 a^{2} - a b - b a\]
Étape 3 : Reconnaître que \(a b = b a\) et combiner les termes similaires
\[2 a^{2} - a b - a b = 2 a^{2} - 2 a b\]
Réponse finale :
\[2 a^{2} - 2 a b\]
Réduire :
\[2 a - b \cdot a - b a\]
Étape 1 : Interpréter l’expression correctement
L’expression est :
\[2 a - (b \cdot a) - b a\]
Étape 2 : Reconnaître que \(b \cdot a = a b = b a\)
Donc :
\[2 a - a b - b a\]
Étape 3 : Combiner les termes similaires
\[2 a - a b - a b = 2 a - 2 a b\]
Réponse finale :
\[2 a - 2 a b\]
Réduire :
\[\frac{3 x - 3}{2} - \frac{x + 2}{3}\]
Étape 1 : Trouver le dénominateur commun
Le dénominateur commun entre 2 et 3 est 6.
Étape 2 : Réécrire chaque fraction avec le dénominateur commun
\[\frac{3 x - 3}{2} = \frac{(3 x - 3) \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9 x - 9}{6}\]
\[\frac{x + 2}{3} = \frac{(x + 2) \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2 x + 4}{6}\]
Étape 3 : Soustraire les deux fractions
\[\frac{9 x - 9}{6} - \frac{2 x + 4}{6} = \frac{(9 x - 9) - (2 x + 4)}{6}\]
Étape 4 : Simplifier le numérateur
\[9 x - 9 - 2 x - 4 = 7 x - 13\]
Étape 5 : Écrire la fraction simplifiée
\[\frac{7 x - 13}{6}\]
Réponse finale :
\[\frac{7 x - 13}{6}\]
Réduire :
\[\frac{3}{14} \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{7}{9} \cdot \sqrt{x}\]
Étape 1 : Réorganiser les termes
Regroupez les coefficients et les racines carrées :
\[\left(\frac{3}{14} \cdot \frac{7}{9}\right) \cdot \left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)\]
Étape 2 : Multiplier les coefficients
\[\frac{3}{14} \cdot \frac{7}{9} = \frac{3 \times 7}{14 \times 9} = \frac{21}{126}\]
Simplifiez la fraction :
\[\frac{21}{126} = \frac{21 \div 21}{126 \div 21} = \frac{1}{6}\]
Étape 3 : Multiplier les racines carrées
\[\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x\]
Étape 4 : Combiner les résultats obtenus
\[\frac{1}{6} \cdot x = \frac{x}{6}\]
Réponse finale :
\[\frac{x}{6}\]