Réduire les expressions suivantes :
\[ 12x^{5}y^{9} \]
\[ 3a - 3b - 1 \]
\[ -6x^{6} + 11x^{3}y - 3y^{2} \]
\[ 4y^{2} - 3xy + x \]
\[ -4x^{2} - 8xy + 4y^{2} \]
\[ 19x + 2xy + 2y \]
Réduire l’expression suivante :
\[ \dfrac{4}{3}x^{3}y^{3} \cdot \left(-3xy^{3}\right)^{2} \]
Correction détaillée :
Étape 1 : Calculer le carré de \(-3xy^{3}\)
\[ \left(-3xy^{3}\right)^{2} = (-3)^{2} \cdot (x)^{2} \cdot \left(y^{3}\right)^{2} \]
Calculons chaque partie séparément :
\[ (-3)^{2} = 9 \] \[ (x)^{2} = x^{2} \] \[ \left(y^{3}\right)^{2} = y^{6} \]
Donc,
\[ \left(-3xy^{3}\right)^{2} = 9x^{2}y^{6} \]
Étape 2 : Multiplier les deux expressions
Maintenant, multiplions \(\dfrac{4}{3}x^{3}y^{3}\) par \(9x^{2}y^{6}\) :
\[ \dfrac{4}{3}x^{3}y^{3} \cdot 9x^{2}y^{6} = \dfrac{4}{3} \cdot 9 \cdot x^{3} \cdot x^{2} \cdot y^{3} \cdot y^{6} \]
Étape 3 : Simplifier les coefficients
\[ \dfrac{4}{3} \cdot 9 = 4 \cdot 3 = 12 \]
Étape 4 : Additionner les exposants des mêmes variables
\[ x^{3} \cdot x^{2} = x^{3+2} = x^{5} \] \[ y^{3} \cdot y^{6} = y^{3+6} = y^{9} \]
Étape 5 : Écrire l’expression simplifiée
\[ 12x^{5}y^{9} \]
Réponse finale :
\[ 12x^{5}y^{9} \]
Réduire l’expression suivante :
\[ 2a - \left(3b - (-5 + 3a) - 4\right) - 2a \]
Correction détaillée :
Étape 1 : Simplifier le contenu des parenthèses
\[ 3b - (-5 + 3a) - 4 \]
Distribuons le signe négatif :
\[ 3b + 5 - 3a - 4 \]
Combine les termes constants :
\[ 3b - 3a + (5 - 4) = 3b - 3a + 1 \]
Étape 2 : Remplacer dans l’expression initiale
\[ 2a - (3b - 3a + 1) - 2a \]
Distribuons le signe négatif :
\[ 2a - 3b + 3a - 1 - 2a \]
Étape 3 : Regrouper les termes similaires
Regroupons les termes en a :
\[ 2a + 3a - 2a = 3a \]
Et les autres termes :
\[ -3b - 1 \]
Étape 4 : Écrire l’expression simplifiée
\[ 3a - 3b - 1 \]
Réponse finale :
\[ 3a - 3b - 1 \]
Réduire l’expression suivante :
\[ \left(2x^{3} - 3y\right) \cdot \left(-3x^{3} + y\right) \]
Correction détaillée :
Étape 1 : Utiliser la distributivité (aussi appelée méthode FOIL)
Multiplier chaque terme du premier polynôme par chaque terme du deuxième polynôme :
\[ (2x^{3}) \cdot (-3x^{3}) + (2x^{3}) \cdot y + (-3y) \cdot (-3x^{3}) + (-3y) \cdot y \]
Étape 2 : Effectuer les multiplications
\[ 2x^{3} \cdot (-3x^{3}) = -6x^{6} \] \[ 2x^{3} \cdot y = 2x^{3}y \] \[ -3y \cdot (-3x^{3}) = 9x^{3}y \] \[ -3y \cdot y = -3y^{2} \]
Étape 3 : Combiner les termes similaires
Les termes \(2x^{3}y\) et \(9x^{3}y\) sont similaires :
\[ 2x^{3}y + 9x^{3}y = 11x^{3}y \]
Étape 4 : Écrire l’expression simplifiée
\[ -6x^{6} + 11x^{3}y - 3y^{2} \]
Réponse finale :
\[ -6x^{6} + 11x^{3}y - 3y^{2} \]
Réduire l’expression suivante :
\[ x + \dfrac{y}{x} \cdot \left(-3x^{2} + 4xy\right) \]
Correction détaillée :
Étape 1 : Distribuer \(\dfrac{y}{x}\) dans la parenthèse
\[ \dfrac{y}{x} \cdot (-3x^{2}) + \dfrac{y}{x} \cdot 4xy \]
Étape 2 : Effectuer les multiplications
\[ \dfrac{y}{x} \cdot (-3x^{2}) = -3x^{2} \cdot \dfrac{y}{x} = -3xy \] \[ \dfrac{y}{x} \cdot 4xy = 4x y \cdot \dfrac{y}{x} = 4y^{2} \]
Étape 3 : Remplacer dans l’expression initiale
\[ x + (-3xy) + 4y^{2} = x - 3xy + 4y^{2} \]
Étape 4 : Réorganiser les termes
\[ 4y^{2} - 3xy + x \]
Réponse finale :
\[ 4y^{2} - 3xy + x \]
Réduire l’expression suivante :
\[ (2x - 3y) \cdot (3x - y) - (2x - y) \cdot (5x + y) \]
Correction détaillée :
Étape 1 : Développer chaque produit
Développons \((2x - 3y)(3x - y)\) :
\[ 2x \cdot 3x + 2x \cdot (-y) + (-3y) \cdot 3x + (-3y) \cdot (-y) \] \[ = 6x^{2} - 2xy - 9xy + 3y^{2} \] \[ = 6x^{2} - 11xy + 3y^{2} \]
Développons \((2x - y)(5x + y)\) :
\[ 2x \cdot 5x + 2x \cdot y + (-y) \cdot 5x + (-y) \cdot y \] \[ = 10x^{2} + 2xy - 5xy - y^{2} \] \[ = 10x^{2} - 3xy - y^{2} \]
Étape 2 : Soustraire les deux expressions développées
\[ (6x^{2} - 11xy + 3y^{2}) - (10x^{2} - 3xy - y^{2}) \]
Distribuons le signe négatif :
\[ 6x^{2} - 11xy + 3y^{2} - 10x^{2} + 3xy + y^{2} \]
Étape 3 : Regrouper les termes similaires
\[ 6x^{2} - 10x^{2} = -4x^{2} \] \[ -11xy + 3xy = -8xy \] \[ 3y^{2} + y^{2} = 4y^{2} \]
Étape 4 : Écrire l’expression simplifiée
\[ -4x^{2} - 8xy + 4y^{2} \]
Réponse finale :
\[ -4x^{2} - 8xy + 4y^{2} \]
Réduire l’expression suivante :
\[ 4x - y \cdot (x - 2) + 3x \cdot (5 + y) \]
Correction détaillée :
Étape 1 : Développer les produits
Développons \(-y \cdot (x - 2)\) :
\[ -y \cdot x + y \cdot 2 = -xy + 2y \]
Développons \(3x \cdot (5 + y)\) :
\[ 3x \cdot 5 + 3x \cdot y = 15x + 3xy \]
Étape 2 : Remplacer dans l’expression initiale
\[ 4x + (-xy + 2y) + (15x + 3xy) \]
Étape 3 : Regrouper les termes similaires
Regroupons les termes en \(x\) :
\[ 4x + 15x = 19x \]
Regroupons les termes en \(xy\) :
\[ -xy + 3xy = 2xy \]
Et le terme constant :
\[ 2y \]
Étape 4 : Écrire l’expression simplifiée
\[ 19x + 2xy + 2y \]
Réponse finale :
\[ 19x + 2xy + 2y \]